Theorem toponmax 20924

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 20913	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 20912	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 20905	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2131  ∪ cuni 4580  ‘cfv 6041  Topctop 20892  TopOnctopon 20909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-top 20893  df-topon 20910

This theorem is referenced by:  topgele  20928  eltpsg  20941  en2top  20983  resttopon  21159  ordtrest  21200  ordtrest2lem  21201  ordtrest2  21202  lmfval  21230  cnpfval  21232  iscn  21233  iscnp  21235  lmbrf  21258  cncls  21272  cnconst2  21281  cnrest2  21284  cndis  21289  cnindis  21290  cnpdis  21291  lmfss  21294  lmres  21298  lmff  21299  ist1-3  21347  connsuba  21417  unconn  21426  kgenval  21532  elkgen  21533  kgentopon  21535  pttoponconst  21594  tx1cn  21606  tx2cn  21607  ptcls  21613  xkoccn  21616  txlm  21645  cnmpt2res  21674  xkoinjcn  21684  qtoprest  21714  ordthmeolem  21798  pt1hmeo  21803  xkocnv  21811  flimclslem  21981  flfval  21987  flfnei  21988  isflf  21990  flfcnp  22001  txflf  22003  supnfcls  22017  fclscf  22022  fclscmp  22027  fcfval  22030  isfcf  22031  uffcfflf  22036  cnpfcf  22038  mopnm  22442  isxms2  22446  prdsxmslem2  22527  bcth2  23319  dvmptid  23911  dvmptc  23912  dvtaylp  24315  taylthlem1  24318  taylthlem2  24319  pige3  24460  dvcxp1  24672  cxpcn3  24680  ordtrestNEW  30268  ordtrest2NEWlem  30269  ordtrest2NEW  30270  topjoin  32658  areacirclem1  33805