Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 22673
 Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (dist‘𝑇)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
41, 2, 3tngtset 22672 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5 df-mopn 19956 . . . . . . . . 9 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
65dmmptss 5775 . . . . . . . 8 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
76sseli 3746 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
8 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝐺) = (-g𝐺)
91, 8tngds 22671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
109, 2syl6eqr 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1110adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1211dmeqd 5464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5523 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ dom (-g𝐺)
14 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐺) = (+g𝐺)
16 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 17671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
18 ovex 6822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) ∈ V
1917, 18dmmpt2 7389 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-g𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2013, 19sseqtri 3784 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2112, 20syl6eqssr 3803 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23 dmss 5461 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25 dmxpid 5483 . . . . . . . . . . 11 dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
2624, 25syl6sseq 3798 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
28 xmetunirn 22361 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30 eqid 2770 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3130mopnuni 22465 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
331, 14tngbas 22664 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3433ad2antlr 698 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3526, 32, 343sstr3d 3794 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36 sspwuni 4743 . . . . . . . . 9 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
3735, 36sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
3837ex 397 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40 ndmfv 6359 . . . . . . 7 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41 0ss 4114 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
4240, 41syl6eqss 3802 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
4339, 42pm2.61d1 172 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
443, 43syl5eqss 3796 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
454, 44eqsstr3d 3787 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47 eqid 2770 . . . 4 (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
4846, 47topnid 16303 . . 3 ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
504, 49eqtrd 2804 1 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  𝒫 cpw 4295  ∪ cuni 4572   × cxp 5247  dom cdm 5249  ran crn 5250   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  TopSetcts 16154  distcds 16157  TopOpenctopn 16289  topGenctg 16305  invgcminusg 17630  -gcsg 17631  ∞Metcxmt 19945  ballcbl 19947  MetOpencmopn 19950   toNrmGrp ctng 22602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-tset 16167  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-sbg 17634  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-tng 22608 This theorem is referenced by:  tngngp2  22675  tchtopn  23243
 Copyright terms: Public domain W3C validator