MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnm 22675
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tngnm ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁:𝑋𝐴)
21feqmptd 6391 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑁𝑥)))
3 tngnm.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2771 . . . . . . . 8 (-g𝐺) = (-g𝐺)
53, 4grpsubf 17702 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
65ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
8 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 8grpidcl 17658 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
109ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
11 opelxpi 5288 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
127, 10, 11syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
13 fvco3 6417 . . . . . 6 (((-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)))
146, 12, 13syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)))
15 df-ov 6796 . . . . 5 (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)
16 df-ov 6796 . . . . . 6 (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = ((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)
1716fveq2i 6335 . . . . 5 (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩))
1814, 15, 173eqtr4g 2830 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))))
193, 8, 4grpsubid1 17708 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2019adantlr 694 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2120fveq2d 6336 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))) = (𝑁𝑥))
2218, 21eqtr2d 2806 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)))
2322mpteq2dva 4878 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑁𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))))
24 fvex 6342 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
253, 24eqeltri 2846 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
26 tngnm.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
27 fex2 7268 . . . . . . 7 ((𝑁:𝑋𝐴𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
2825, 26, 27mp3an23 1564 . . . . . 6 (𝑁:𝑋𝐴𝑁 ∈ V)
2928adantl 467 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 ∈ V)
30 tngnm.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3130, 3tngbas 22665 . . . . 5 (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
3229, 31syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
3330, 4tngds 22672 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
3429, 33syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
35 eqidd 2772 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
3630, 8tng0 22667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V → (0g𝐺) = (0g𝑇))
3729, 36syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (0g𝐺) = (0g𝑇))
3834, 35, 37oveq123d 6814 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇)))
3932, 38mpteq12dv 4867 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇))))
40 eqid 2771 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
41 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
42 eqid 2771 . . . 4 (0g𝑇) = (0g𝑇)
43 eqid 2771 . . . 4 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
4440, 41, 42, 43nmfval 22613 . . 3 (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇)))
4539, 44syl6eqr 2823 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))) = (norm‘𝑇))
462, 23, 453eqtrd 2809 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cop 4322  cmpt 4863   × cxp 5247  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  distcds 16158  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  normcnm 22601   toNrmGrp ctng 22603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-ds 16172  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-nm 22607  df-tng 22609
This theorem is referenced by:  tngngp2  22676  tngngp  22678  tngngp3  22680  nrmtngnrm  22682  tngnrg  22698  tchnmfval  23246  tchcph  23255
  Copyright terms: Public domain W3C validator