MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpd 22676
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m = (-g𝐺)
tngngp.z 0 = (0g𝐺)
tngngpd.1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2 (𝜑𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
Assertion
Ref Expression
tngngpd (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 tngngpd.2 . . . 4 (𝜑𝑁:𝑋⟶ℝ)
3 tngngp.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 fvex 6342 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
53, 4eqeltri 2845 . . . . 5 𝑋 ∈ V
6 reex 10228 . . . . 5 ℝ ∈ V
7 fex2 7267 . . . . 5 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
85, 6, 7mp3an23 1563 . . . 4 (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
9 tngngp.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
10 tngngp.m . . . . 5 = (-g𝐺)
119, 10tngds 22671 . . . 4 (𝑁 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
122, 8, 113syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
13 tngngp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
14 tngngpd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
15 tngngpd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
163, 10, 13, 1, 2, 14, 15nrmmetd 22598 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ) ∈ (Met‘𝑋))
1712, 16eqeltrrd 2850 . 2 (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
18 eqid 2770 . . . 4 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
199, 3, 18tngngp2 22675 . . 3 (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
202, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
211, 17, 20mpbir2and 684 1 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140  cle 10276  Basecbs 16063  distcds 16157  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  -gcsg 17631  Metcme 19946  NrmGrpcngp 22601   toNrmGrp ctng 22602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-tset 16167  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-topgen 16311  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-xms 22344  df-ms 22345  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-tng 22608
This theorem is referenced by:  tngngp  22677  tngngp3  22679  tchcph  23254
  Copyright terms: Public domain W3C validator