MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglem 22663
Description: Lemma for tngbas 22664 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4 𝐾 < 9
Assertion
Ref Expression
tnglem (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2770 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3 eqid 2770 . . . . 5 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
4 eqid 2770 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
51, 2, 3, 4tngval 22662 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
65fveq2d 6336 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
7 tnglem.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝐾
8 tnglem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℕ
97, 8ndxid 16089 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
107, 8ndxarg 16088 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝐾
118nnrei 11230 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℝ
1210, 11eqeltri 2845 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9 𝐾 < 9
1410, 13eqbrtri 4805 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) < 9
15 1nn 11232 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
16 2nn0 11510 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
17 9nn0 11517 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
18 9lt10 11873 . . . . . . . . 9 9 < 10
1915, 16, 17, 18declti 11747 . . . . . . . 8 9 < 12
20 9re 11308 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
21 1nn0 11509 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2221, 16deccl 11713 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
2322nn0rei 11504 . . . . . . . . 9 12 ∈ ℝ
2412, 20, 23lttri 10364 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < 12) → (𝐸‘ndx) < 12)
2514, 19, 24mp2an 664 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 12
2612, 25ltneii 10351 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 12
27 dsndx 16269 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
2826, 27neeqtrri 3015 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
299, 28setsnid 16121 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩))
3012, 14ltneii 10351 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 9
31 tsetndx 16247 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
3230, 31neeqtrri 3015 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
339, 32setsnid 16121 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
3429, 33eqtri 2792 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
356, 34syl6reqr 2823 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
367str0 16117 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
37 fvprc 6326 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
3837adantr 466 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = ∅)
39 reldmtng 22661 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
4039ovprc1 6828 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
4140adantr 466 . . . . 5 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
421, 41syl5eq 2816 . . . 4 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ∅)
4342fveq2d 6336 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘∅))
4436, 38, 433eqtr4a 2830 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
4535, 44pm2.61ian 795 1 (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  c0 4061  cop 4320   class class class wbr 4784  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  1c1 10138   < clt 10275  cn 11221  2c2 11271  9c9 11278  cdc 11694  ndxcnx 16060   sSet csts 16061  Slot cslot 16062  TopSetcts 16154  distcds 16157  -gcsg 17631  MetOpencmopn 19950   toNrmGrp ctng 22602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-sets 16070  df-tset 16167  df-ds 16171  df-tng 22608
This theorem is referenced by:  tngbas  22664  tngplusg  22665  tngmulr  22667  tngsca  22668  tngvsca  22669  tngip  22670
  Copyright terms: Public domain W3C validator