MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 22499
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 16110 . . . 4 dist = Slot (dist‘ndx)
2 9re 11145 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 11069 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 2nn0 11347 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
5 9nn0 11354 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
6 9lt10 11711 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 11584 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 10187 . . . . 5 12 ≠ 9
9 dsndx 16109 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
10 tsetndx 16087 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
119, 10neeq12i 2889 . . . . 5 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
128, 11mpbir 221 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
131, 12setsnid 15962 . . 3 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 = (-g𝐺)
15 fvex 6239 . . . . . 6 (-g𝐺) ∈ V
1614, 15eqeltri 2726 . . . . 5 ∈ V
17 coexg 7159 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∈ V) → (𝑁 ) ∈ V)
1816, 17mpan2 707 . . . 4 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) ∈ V)
191setsid 15961 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ) ∈ V) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
2018, 19sylan2 490 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
21 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
22 eqid 2651 . . . . 5 (𝑁 ) = (𝑁 )
23 eqid 2651 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 )) = (MetOpen‘(𝑁 ))
2421, 14, 22, 23tngval 22490 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
2524fveq2d 6233 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩)))
2613, 20, 253eqtr4a 2711 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
27 co02 5687 . . . . 5 (𝑁 ∘ ∅) = ∅
28 df-ds 16011 . . . . . 6 dist = Slot 12
2928str0 15958 . . . . 5 ∅ = (dist‘∅)
3027, 29eqtri 2673 . . . 4 (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
31 fvprc 6223 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (-g𝐺) = ∅)
3214, 31syl5eq 2697 . . . . 5 𝐺 ∈ V → = ∅)
3332coeq2d 5317 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (𝑁 ∘ ∅))
34 reldmtng 22489 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3534ovprc1 6724 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
3621, 35syl5eq 2697 . . . . 5 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
3736fveq2d 6233 . . . 4 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
3830, 33, 373eqtr4a 2711 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3938adantr 480 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
4026, 39pm2.61ian 848 1 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948  cop 4216  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  2c2 11108  9c9 11115  cdc 11531  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  TopSetcts 15994  distcds 15997  -gcsg 17471  MetOpencmopn 19784   toNrmGrp ctng 22430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-sets 15911  df-tset 16007  df-ds 16011  df-tng 22436
This theorem is referenced by:  tngtset  22500  tngtopn  22501  tngnm  22502  tngngp2  22503  tngngpd  22504  nrmtngdist  22508  tngnrg  22525  cnindmet  23008  tchds  23076
  Copyright terms: Public domain W3C validator