Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslem 22506
 Description: Lemma for tmsbas 22507, tmsds 22508, and tmstopn 22509. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmslem (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6361 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3 df-ds 16171 . . . . 5 dist = Slot 12
4 1nn 11232 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
5 2nn0 11510 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
6 1nn0 11509 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
7 1lt10 11881 . . . . . 6 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 11747 . . . . 5 1 < 12
9 2nn 11386 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
106, 9decnncl 11719 . . . . 5 12 ∈ ℕ
112, 3, 8, 102strbas 16191 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13 xmetf 22353 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14 ffn 6185 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnresdm 6140 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
172, 3, 8, 102strop 16192 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
1817reseq1d 5533 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
1916, 18eqtr3d 2806 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
212, 20tmsval 22505 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
2212, 19, 21setsmsbas 22499 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
2312, 19, 21setsmsds 22500 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
2417, 23eqtrd 2804 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25 prex 5037 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
262, 25eqeltri 2845 . . . 4 𝑀 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
2812, 19, 21, 27setsmstopn 22502 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
2922, 24, 283jca 1121 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349  {cpr 4316  ⟨cop 4320   × cxp 5247  dom cdm 5249   ↾ cres 5251   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  1c1 10138  ℝ*cxr 10274  2c2 11271  ;cdc 11694  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  distcds 16157  TopOpenctopn 16289  ∞Metcxmt 19945  MetOpencmopn 19950  toMetSpctmt 22343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-tset 16167  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-tms 22346 This theorem is referenced by:  tmsbas  22507  tmsds  22508  tmstopn  22509
 Copyright terms: Public domain W3C validator