Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt2 29994
Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e = (le‘𝐾)
tlt2.l < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tlt2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2
StepHypRef Expression
1 exmidd 431 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 𝑌))
2 tlt2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 tlt2.e . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 tlt2.l . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
52, 3, 4tltnle 29992 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 𝑌))
653com23 1121 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 𝑌))
76orbi2d 740 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 𝑌)))
81, 7mpbird 247 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  ltcplt 17162  Tosetctos 17254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-toset 17255
This theorem is referenced by:  tlt3  29995  archirngz  30073  archiabllem2a  30078
  Copyright terms: Public domain W3C validator