Theorem threehalves 29963

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11296	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 11292	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 11315	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 10994	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10254	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 11510	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 11301	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 29938	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10254	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 11444	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1423	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 11514	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 11512	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 11509	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 11281	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 6803	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 11353	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2795	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 11797	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 11773	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 29959	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 29949	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2793	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 11350	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10254	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 470	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 10971	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2804	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 10867	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 462	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 672	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   / cdiv 10886  2c2 11272  3c3 11273  5c5 11275  ℕ₀cn0 11494  ;cdc 11695  .cdp 29935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-dec 11696  df-dp2 29918  df-dp 29936

This theorem is referenced by: (None)