Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  threehalves Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem threehalves 29963
 Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
threehalves (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves
StepHypRef Expression
1 3re 11296 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 2re 11292 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 2ne0 11315 . . . . 5 2 ≠ 0
41, 2, 3redivcli 10994 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
54recni 10254 . . 3 (3 / 2) ∈ ℂ
6 1nn0 11510 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
7 5re 11301 . . . . 5 5 ∈ ℝ
8 dpcl 29938 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
96, 7, 8mp2an 672 . . . 4 (1.5) ∈ ℝ
109recni 10254 . . 3 (1.5) ∈ ℂ
11 2cnne0 11444 . . 3 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
125, 10, 113pm3.2i 1423 . 2 ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13 5nn0 11514 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
14 3nn0 11512 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
15 0nn0 11509 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2771 . . . . . 6 15 = 15
17 df-2 11281 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1817oveq1i 6803 . . . . . . 7 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19 2p1e3 11353 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2018, 19eqtr3i 2795 . . . . . 6 ((1 + 1) + 1) = 3
21 5p5e10 11797 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
226, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21decaddc 11773 . . . . 5 (15 + 15) = 30
236, 13, 6, 13, 14, 15, 22dpadd 29959 . . . 4 ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
2414dp0u 29949 . . . 4 (3.0) = 3
2523, 24eqtri 2793 . . 3 ((1.5) + (1.5)) = 3
2610times2i 11350 . . 3 ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
271recni 10254 . . . 4 3 ∈ ℂ
2811simpli 470 . . . 4 2 ∈ ℂ
2927, 28, 3divcan1i 10971 . . 3 ((3 / 2) · 2) = 3
3025, 26, 293eqtr4ri 2804 . 2 ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31 mulcan2 10867 . . 3 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
3231biimpa 462 . 2 ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
3312, 30, 32mp2an 672 1 (3 / 2) = (1.5)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   / cdiv 10886  2c2 11272  3c3 11273  5c5 11275  ℕ0cn0 11494  ;cdc 11695  .cdp 29935 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-dec 11696  df-dp2 29918  df-dp 29936 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator