Theorem thlbas 20242

Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbas	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	thlval 20241	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6	5	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7		fvex 6362	. . . . . 6 ⊢ (CSubSp‘𝑊) ∈ V
8	2, 7	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
9	3	ipobas 17356	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
11		baseid 16121	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
12		1re 10231	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		1nn 11223	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		1nn0 11500	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		1lt10 11873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
16	13, 14, 14, 15	declti 11738	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;11
17	12, 16	ltneii 10342	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ ;11
18		basendx 16125	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
19		ocndx 16262	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
20	18, 19	neeq12i 2998	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
21	17, 20	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
22	11, 21	setsnid 16117	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
23	10, 22	eqtri 2782	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
24	6, 23	syl6reqr 2813	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
25		base0 16114	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
26		fvprc 6346	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (CSubSp‘𝑊) = ∅)
27	2, 26	syl5eq 2806	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
28		fvprc 6346	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
29	1, 28	syl5eq 2806	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
30	29	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
31	25, 27, 30	3eqtr4a 2820	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
32	24, 31	pm2.61i 176	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  ∅c0 4058  ⟨cop 4327  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129  ;cdc 11685  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059  occoc 16151  toInccipo 17352  ocvcocv 20206  CSubSpccss 20207  toHLcthl 20208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ocomp 16165  df-ipo 17353  df-thl 20211

This theorem is referenced by: (None)