MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss3 20838
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 20818 . . . 4 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
21adantr 480 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
3 sstr2 3643 . . 3 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
5 fvex 6239 . . . 4 (topGen‘𝐶) ∈ V
6 tgss 20820 . . . 4 (((topGen‘𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
75, 6mpan 706 . . 3 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
8 tgidm 20832 . . . . 5 (𝐶𝑊 → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
98adantl 481 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
109sseq2d 3666 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)) ↔ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
117, 10syl5ib 234 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
124, 11impbid 202 1 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  cfv 5926  topGenctg 16145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-topgen 16151
This theorem is referenced by:  tgss2  20839  2basgen  20842  isfne4b  32461
  Copyright terms: Public domain W3C validator