Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpabl 36356
Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpgrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpgrp.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tgrpabl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem tgrpabl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpgrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpgrp.g . . . 4 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpbase 36351 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐺) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
65eqcomd 2657 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝐺))
7 eqidd 2652 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
81, 3tgrpgrp 36355 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 2ltrncom 36343 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓𝑔) = (𝑔𝑓))
10 eqid 2651 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
111, 2, 3, 10tgrpov 36353 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
12113expa 1284 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
13123impb 1279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
141, 2, 3, 10tgrpov 36353 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
15143expa 1284 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
16153impb 1279 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
17163com23 1291 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
189, 13, 173eqtr4d 2695 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑔(+g𝐺)𝑓))
196, 7, 8, 18isabld 18252 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Abelcabl 18240  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  TGrpctgrp 36347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348
This theorem is referenced by:  dvaabl  36630
  Copyright terms: Public domain W3C validator