Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgptsmscld 22173
 Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a (𝜑𝐴𝑉)
tgptsmscls.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
42, 3tgptopon 22105 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 topontop 20937 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
8 0cld 21062 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10 eleq1 2837 . . 3 ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
119, 10syl5ibrcom 237 . 2 (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12 n0 4076 . . 3 ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1413adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
151adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
1716adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴𝑉)
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
1918adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴𝐵)
20 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 22172 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
227adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐽 ∈ Top)
23 tgptps 22103 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 22157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
26 toponuni 20938 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2825, 27sseqtrd 3788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐽)
2928sselda 3750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 𝐽)
3029snssd 4473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ 𝐽)
31 eqid 2770 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
3231clscld 21071 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3322, 30, 32syl2anc 565 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3421, 33eqeltrd 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
3534ex 397 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
3635exlimdv 2012 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
3712, 36syl5bi 232 . 2 (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
3811, 37pm2.61dne 3028 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  {csn 4314  ∪ cuni 4572  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  TopOpenctopn 16289  CMndccmn 18399  Topctop 20917  TopOnctopon 20934  TopSpctps 20956  Clsdccld 21040  clsccl 21042  TopGrpctgp 22094   tsums ctsu 22148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-plusf 17448  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-tmd 22095  df-tgp 22096  df-tsms 22149 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator