Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgtde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgtde 31068
 Description: Lemma for tgoldbachgtd 31070. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtda.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n (𝜑𝑁𝑂)
tgoldbachgtda.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
tgoldbachgtda.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.1 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
tgoldbachgtda.2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
tgoldbachgtda.3 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtde (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻,𝑛,𝑥   𝑚,𝐾,𝑛,𝑥   𝑚,𝑁,𝑛,𝑥,𝑧   𝑚,𝑂,𝑛,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem tgoldbachgtde
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtda.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 tgoldbachgtda.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑂)
3 tgoldbachgtda.0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
41, 2, 3tgoldbachgnn 31067 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11563 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 3nn0 11522 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
8 ssid 3765 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
105, 7, 9reprfi2 31031 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
11 diffi 8359 . . . . . 6 ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
13 difssd 3881 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1413sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
15 vmaf 25065 . . . . . . . . . 10 Λ:ℕ⟶ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
178a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
185nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1918adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
206a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
21 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
2217, 19, 20, 21reprf 31020 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
23 c0ex 10246 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423tpid1 4447 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0, 1, 2}
25 fzo0to3tp 12768 . . . . . . . . . . . 12 (0..^3) = {0, 1, 2}
2624, 25eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^3)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
2822, 27ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2916, 28ffvelrnd 6524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
30 tgoldbachgtda.h . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
31 rge0ssre 12493 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
32 fss 6217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
3330, 31, 32sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
3433adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
3534, 28ffvelrnd 6524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
3629, 35remulcld 10282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
37 1ex 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3837tpid2 4448 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3938, 25eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
4122, 40ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
4216, 41ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
43 tgoldbachgtda.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
44 fss 6217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
4543, 31, 44sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
4645adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
4746, 41ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
4842, 47remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
49 2ex 11304 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
5049tpid3 4450 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
5150, 25eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
5322, 52ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
5416, 53ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
5546, 53ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
5654, 55remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
5748, 56remulcld 10282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
5836, 57remulcld 10282 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
5914, 58syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
6012, 59fsumrecl 14684 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
61 0nn0 11519 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
62 qssre 12011 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ
63 4nn0 11523 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
64 2nn0 11521 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
65 nn0ssq 12009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ⊆ ℚ
66 8nn0 11527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℕ0
6765, 66sselii 3741 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℚ
6863, 67dp2clq 29918 . . . . . . . . . . . . . 14 48 ∈ ℚ
6964, 68dp2clq 29918 . . . . . . . . . . . . 13 248 ∈ ℚ
7064, 69dp2clq 29918 . . . . . . . . . . . 12 2248 ∈ ℚ
7163, 70dp2clq 29918 . . . . . . . . . . 11 42248 ∈ ℚ
7261, 71dp2clq 29918 . . . . . . . . . 10 042248 ∈ ℚ
7361, 72dp2clq 29918 . . . . . . . . 9 0042248 ∈ ℚ
7461, 73dp2clq 29918 . . . . . . . 8 00042248 ∈ ℚ
7562, 74sselii 3741 . . . . . . 7 00042248 ∈ ℝ
76 dpcl 29928 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7761, 75, 76mp2an 710 . . . . . 6 (0.00042248) ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0.00042248) ∈ ℝ)
794nnred 11247 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8079resqcld 13249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
8178, 80remulcld 10282 . . . 4 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
8210, 58fsumrecl 14684 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
83 7nn0 11526 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
846, 68dp2clq 29918 . . . . . . . . . 10 348 ∈ ℚ
8562, 84sselii 3741 . . . . . . . . 9 348 ∈ ℝ
86 dpcl 29928 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
8783, 85, 86mp2an 710 . . . . . . . 8 (7.348) ∈ ℝ
8887a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (7.348) ∈ ℝ)
894nnrpd 12083 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
9089relogcld 24589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
915nn0ge0d 11566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
9279, 91resqrtcld 14375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
9389sqrtgt0d 14370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (√‘𝑁))
9493gt0ne0d 10804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
9590, 92, 94redivcld 11065 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
9688, 95remulcld 10282 . . . . . 6 (𝜑 → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
9796, 80remulcld 10282 . . . . 5 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
98 tgoldbachgtda.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
99 tgoldbachgtda.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
1001, 4, 3, 30, 43, 98, 99hgt750leme 31066 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
101 2z 11621 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
102101a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
10389, 102rpexpcld 13246 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
104 hgt750lem 31059 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
1055, 3, 104syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
10696, 78, 103, 105ltmul1dd 12140 . . . . 5 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) < ((0.00042248) · (𝑁↑2)))
10760, 97, 81, 100, 106lelttrd 10407 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < ((0.00042248) · (𝑁↑2)))
108 tgoldbachgtda.3 . . . . 5 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
10933, 45, 5circlemethhgt 31051 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
110108, 109breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
11160, 81, 82, 107, 110ltletrd 10409 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
11260, 82posdifd 10826 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ↔ 0 < (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))))
113111, 112mpbid 222 . 2 (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))))
114 inss2 3977 . . . . . . . 8 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
115 prmssnn 15612 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ ℕ
116114, 115sstri 3753 . . . . . . 7 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
1189, 18, 7, 117reprss 31025 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
11910, 118ssfid 8350 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
120118sselda 3744 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
12158recnd 10280 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
122120, 121syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
123119, 122fsumcl 14683 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
12460recnd 10280 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
125 disjdif 4184 . . . . 5 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∩ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = ∅
126125a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∩ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = ∅)
127 undif 4193 . . . . . 6 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁) ↔ (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = (ℕ(repr‘3)𝑁))
128118, 127sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = (ℕ(repr‘3)𝑁))
129128eqcomd 2766 . . . 4 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) = (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))))
130126, 129, 10, 121fsumsplit 14690 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) + Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))))
131123, 124, 130mvrraddd 10657 . 2 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) = Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
132113, 131breqtrd 4830 1 (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {ctp 4325   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑓 cof 7061  Fincfn 8123  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  ici 10150   · cmul 10153  +∞cpnf 10283   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  ℕcn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ;cdc 11705  ℚcq 12001  (,)cioo 12388  [,)cico 12390  ..^cfzo 12679  ↑cexp 13074  √csqrt 14192  Σcsu 14635  expce 15011  πcpi 15016   ∥ cdvds 15202  ℙcprime 15607  ∫citg 23606  logclog 24521  Λcvma 25038  _cdp2 29907  .cdp 29925  reprcrepr 31016  vtscvts 31043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-reg 8664  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228  ax-ros335 31053  ax-ros336 31054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-r1 8802  df-rank 8803  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-prod 14855  df-ef 15017  df-e 15018  df-sin 15019  df-cos 15020  df-tan 15021  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-pmtr 18082  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-ulm 24350  df-log 24523  df-cxp 24524  df-atan 24814  df-cht 25043  df-vma 25044  df-chp 25045  df-dp2 29908  df-dp 29926  df-repr 31017  df-vts 31044 This theorem is referenced by:  tgoldbachgtda  31069
 Copyright terms: Public domain W3C validator