Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgnn 31046
 Description: Lemma for tgoldbachgtd 31049. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtda.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n (𝜑𝑁𝑂)
tgoldbachgtda.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgnn (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgnn
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtda.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑂)
2 tgoldbachgtda.o . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
31, 2syl6eleq 2849 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4 elrabi 3499 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6 1red 10247 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7 10nn0 11708 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
87nn0rei 11495 . . . . 5 10 ∈ ℝ
9 2nn0 11501 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
10 7nn0 11506 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11704 . . . . 5 27 ∈ ℕ0
12 reexpcl 13071 . . . . 5 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℝ)
138, 11, 12mp2an 710 . . . 4 (10↑27) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
155zred 11674 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
16 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
17 1lt10 11873 . . . . . 6 1 < 10
1816, 8, 17ltleii 10352 . . . . 5 1 ≤ 10
19 expge1 13091 . . . . 5 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 10) → 1 ≤ (10↑27))
208, 11, 18, 19mp3an 1573 . . . 4 1 ≤ (10↑27)
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ≤ (10↑27))
22 tgoldbachgtda.0 . . 3 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
236, 14, 15, 21, 22letrd 10386 . 2 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
24 elnnz1 11595 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
255, 23, 24sylanbrc 701 1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  2c2 11262  7c7 11267  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ;cdc 11685  ↑cexp 13054   ∥ cdvds 15182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055 This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  31047  tgoldbachgtda  31048
 Copyright terms: Public domain W3C validator