MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglowdim1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglowdim1i 25441
Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglowdim1.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1 (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
tglowdim1i.1 (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
tglowdim1i (𝜑 → ∃𝑦𝑃 𝑋𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglowdim1.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglowdim1.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 tglowdim1.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglowdim1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglowdim1.1 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (#‘𝑃))
81, 2, 3, 5, 7tglowdim1 25440 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 𝑎𝑏)
9 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦)
10 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑎𝑃)
11 eqeq2 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑎))
1211rspccva 3339 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦𝑎𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
139, 10, 12syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
14 eqeq2 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑏))
1514rspccva 3339 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦𝑏𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
169, 15sylancom 702 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
1713, 16eqtr3d 2687 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
18 nne 2827 . . . . . . 7 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
1917, 18sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → ¬ 𝑎𝑏)
2019nrexdv 3030 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) → ¬ ∃𝑏𝑃 𝑎𝑏)
2120nrexdv 3030 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 𝑎𝑏)
228, 21pm2.65da 599 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦)
23 rexnal 3024 . . 3 (∃𝑦𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦)
2422, 23sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
25 df-ne 2824 . . 3 (𝑋𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
2625rexbii 3070 . 2 (∃𝑦𝑃 𝑋𝑦 ↔ ∃𝑦𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
2724, 26sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 𝑋𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  colline  25589
  Copyright terms: Public domain W3C validator