Theorem tglowdim1i 25441

Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglowdim1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
tglowdim1i.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim1i	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   − (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglowdim1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglowdim1.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglowdim1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglowdim1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglowdim1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (#‘𝑃))
8	1, 2, 3, 5, 7	tglowdim1 25440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
9		simpllr 815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
10		simplr 807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
11		eqeq2 2662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑎))
12	11	rspccva 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
13	9, 10, 12	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
14		eqeq2 2662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
15	14	rspccva 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
16	9, 15	sylancom 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
17	13, 16	eqtr3d 2687	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
18		nne 2827	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	nrexdv 3030	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
21	20	nrexdv 3030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
22	8, 21	pm2.65da 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
23		rexnal 3024	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
24	22, 23	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
25		df-ne 2824	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
26	25	rexbii 3070	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
27	24, 26	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926   ≤ cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  colline  25589