Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglngne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglngne 25666
 Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tglngne.1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
Assertion
Ref Expression
tglngne (𝜑𝑋𝑌)

Proof of Theorem tglngne
StepHypRef Expression
1 tglngne.1 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2 df-ov 6818 . . . . . 6 (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2syl6eleq 2850 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4 elfvdm 6383 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 tglngval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 tglngval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
107, 8, 9tglnfn 25663 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11 fndm 6152 . . . . 5 (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
126, 10, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
135, 12eleqtrd 2842 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
1413eldifbd 3729 . 2 (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15 df-br 4806 . . . 4 (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
17 ideqg 5430 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
1915, 18syl5bbr 274 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
2019necon3bbid 2970 . 2 (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋𝑌))
2114, 20mpbid 222 1 (𝜑𝑋𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3713  ⟨cop 4328   class class class wbr 4805   I cid 5174   × cxp 5265  dom cdm 5267   Fn wfn 6045  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-trkg 25573 This theorem is referenced by:  lnhl  25731  tglnne  25744  tglineneq  25760  tglineinteq  25761  ncolncol  25762  coltr  25763  coltr3  25764  perprag  25839  opphl  25867  hlpasch  25869
 Copyright terms: Public domain W3C validator