MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglinethru Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglinethru 25752
Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglinethru.0 (𝜑𝑃𝑄)
tglinethru.1 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2 (𝜑𝑃𝐴)
tglinethru.3 (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
tglinethru (𝜑𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglineelsb2.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 771 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simp-4r 827 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥𝐵)
7 simpllr 817 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦𝐵)
8 simplrr 820 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
9 tglineelsb2.2 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
109ad4antr 771 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝐵)
11 tglinethru.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
1211ad4antr 771 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃𝑄)
1312necomd 2988 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝑃)
14 simpr 479 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
1513, 14neeqtrd 3002 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝑥)
16 tglinethru.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐴)
1716ad4antr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝐴)
18 simplrl 819 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
1917, 18eleqtrd 2842 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
201, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19tglineelsb2 25748 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
2114oveq1d 6830 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
2220, 18, 213eqtr4d 2805 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23 simplrl 819 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
244ad4antr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25 simp-4r 827 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝐵)
26 simpllr 817 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑦𝐵)
27 simplrr 820 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝑦)
28 tglineelsb2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
2928ad4antr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝐵)
30 simpr 479 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑥)
31 tglinethru.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
3231ad4antr 771 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝐴)
3332, 23eleqtrd 2842 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
341, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33tglineelsb2 25748 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
3530necomd 2988 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝑃)
361, 2, 3, 24, 25, 29, 35tglinecom 25751 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
3723, 34, 363eqtrd 2799 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
389ad4antr 771 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝐵)
3911ad4antr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑄)
4039necomd 2988 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝑃)
4116ad4antr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝐴)
4241, 37eleqtrd 2842 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
431, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42tglineelsb2 25748 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
4437, 43eqtrd 2795 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
4522, 44pm2.61dane 3020 . 2 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46 tglinethru.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
471, 2, 3, 4, 46tgisline 25743 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
4845, 47r19.29vva 3220 1 (𝜑𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  ran crn 5268  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-hash 13333  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-s2 13814  df-s3 13815  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627
This theorem is referenced by:  tghilberti2  25754  tglineintmo  25758  colline  25765  tglowdim2ln  25767  mirln  25792  mirln2  25793  perpneq  25830  ragperp  25833  footex  25834  perpdragALT  25840  perpdrag  25841  colperp  25842  opphllem1  25860  opphllem2  25861  opphllem3  25862  opphllem4  25863  opphllem5  25864  opphllem6  25865  oppperpex  25866  opphl  25867  hpgerlem  25878  colhp  25883  lmiisolem  25909  acopy  25945  acopyeu  25946
  Copyright terms: Public domain W3C validator