Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgldimor 25596
 Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p 𝑃 = (𝐸𝐹)
tgldimor.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgldimor (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐹)
2 fvex 6362 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . . . 5 𝑃 ∈ V
4 hashv01gt1 13327 . . . . 5 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
6 3orass 1075 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
75, 6mpbi 220 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
8 1p1e2 11326 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
9 1z 11599 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
10 nn0z 11592 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
11 zltp1le 11619 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
129, 10, 11sylancr 698 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
1312biimpac 504 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
148, 13syl5eqbrr 4840 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
15 2re 11282 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1615rexri 10289 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
17 pnfge 12157 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ≤ +∞
19 breq2 4808 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
2018, 19mpbiri 248 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2120adantl 473 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
22 hashnn0pnf 13324 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
233, 22mp1i 13 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
2414, 21, 23mpjaodan 862 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2524orim2i 541 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2625orim2i 541 . . 3 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
277, 26mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
28 tgldimor.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
29 ne0i 4064 . . . 4 (𝐴𝑃𝑃 ≠ ∅)
30 hasheq0 13346 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
313, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
3231biimpi 206 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
3332necon3ai 2957 . . . 4 (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
3428, 29, 333syl 18 . . 3 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
35 biorf 419 . . 3 (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3727, 36mpbird 247 1 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ♯chash 13311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312 This theorem is referenced by:  tgifscgr  25602  tgcgrxfr  25612  tgbtwnconn3  25671  legtrid  25685  hpgerlem  25856
 Copyright terms: Public domain W3C validator