Theorem tgioo2 22807

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgioo2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
tgioo2	⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		cnxmet 22777	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-resscn 10185	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		tgioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 22786	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7	1, 5, 6	metrest 22530	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
8	2, 3, 7	mp2an 710	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9	1, 8	tgioo 22800	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   × cxp 5264  ran crn 5267   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127   − cmin 10458  (,)cioo 12368  abscabs 14173   ↾_t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  ∞Metcxmt 19933  MetOpencmopn 19938  ℂ_fldccnfld 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952

This theorem is referenced by:  rerest  22808  tgioo3  22809  zcld2  22819  metdcn  22844  ngnmcncn  22849  metdscn2  22861  abscncfALT  22924  cnrehmeo  22953  rellycmp  22957  evth  22959  evth2  22960  lebnumlem2  22962  resscdrg  23354  retopn  23367  cncombf  23624  cnmbf  23625  dvcjbr  23911  rolle  23952  cmvth  23953  mvth  23954  dvlip  23955  dvlipcn  23956  dvlip2  23957  c1liplem1  23958  dvgt0lem1  23964  dvle  23969  dvivthlem1  23970  dvne0  23973  lhop1lem  23975  lhop2  23977  lhop  23978  dvcnvrelem1  23979  dvcnvrelem2  23980  dvcnvre  23981  dvcvx  23982  dvfsumle  23983  dvfsumabs  23985  dvfsumlem2  23989  ftc1  24004  ftc1cn  24005  ftc2  24006  ftc2ditglem  24007  itgparts  24009  itgsubstlem  24010  taylthlem2  24327  efcvx  24402  pige3  24468  dvloglem  24593  logdmopn  24594  advlog  24599  advlogexp  24600  logccv  24608  loglesqrt  24698  lgamgulmlem2  24955  ftalem3  25000  log2sumbnd  25432  nmcnc  27860  ipasslem7  28000  rmulccn  30283  raddcn  30284  ftc2re  30985  knoppcnlem10  32798  knoppcnlem11  32799  broucube  33756  ftc1cnnc  33797  ftc2nc  33807  dvasin  33809  dvacos  33810  dvreasin  33811  dvreacos  33812  areacirclem1  33813  areacirc  33818  itgpowd  38302  lhe4.4ex1a  39030  refsumcn  39688  xrtgcntopre  40207  tgioo4  40303  climreeq  40348  limcresiooub  40377  limcresioolb  40378  lptioo2cn  40380  lptioo1cn  40381  limclner  40386  cncfiooicclem1  40609  jumpncnp  40614  fperdvper  40636  dvmptresicc  40637  dvresioo  40639  dvbdfbdioolem1  40646  itgsin0pilem1  40668  itgsinexplem1  40672  itgcoscmulx  40688  itgsubsticclem  40694  itgiccshift  40699  itgperiod  40700  itgsbtaddcnst  40701  dirkeritg  40822  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem3  40825  dirkercncflem4  40826  dirkercncf  40827  fourierdlem28  40855  fourierdlem32  40859  fourierdlem33  40860  fourierdlem39  40866  fourierdlem56  40882  fourierdlem57  40883  fourierdlem58  40884  fourierdlem59  40885  fourierdlem60  40886  fourierdlem61  40887  fourierdlem62  40888  fourierdlem68  40894  fourierdlem72  40898  fourierdlem73  40899  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem80  40906  fourierdlem94  40920  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem113  40939  fouriercnp  40946  fouriersw  40951  fouriercn  40952  etransclem2  40956  etransclem23  40977  etransclem35  40989  etransclem38  40992  etransclem39  40993  etransclem44  40998  etransclem45  40999  etransclem46  41000  etransclem47  41001