MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgifscgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgifscgr 25623
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwncgr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwncgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwncgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgifscgr.e (𝜑𝐸𝑃)
tgifscgr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgifscgr.g (𝜑𝐾𝑃)
tgifscgr.h (𝜑𝐻𝑃)
tgifscgr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
tgifscgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
tgifscgr.5 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
tgifscgr.6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tgifscgr (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwncgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 tgbtwncgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwncgr.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwncgr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
76adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
8 tgbtwncgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
10 tgifscgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹𝑃)
12 simpr 471 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13 tgifscgr.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑃)
1413adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻𝑃)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 25620 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
16 tgifscgr.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
1716ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
184ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19 tgbtwncgr.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
2019ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
216ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
22 tgifscgr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2322ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2524oveq1d 6807 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
2623, 25eleqtrd 2851 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
271, 2, 3, 18, 20, 21, 26axtgbtwnid 25585 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
2827oveq1d 6807 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 𝐷) = (𝐵 𝐷))
29 tgifscgr.g . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑃)
3029ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾𝑃)
3110ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹𝑃)
32 tgifscgr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
3332ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝑃)
3534ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸𝑃)
36 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑃)
3736ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
3824oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝐶))
39 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
4039ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
4138, 40eqtr2d 2805 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 𝐾) = (𝐴 𝐴))
421, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41axtgcgrid 25582 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
4342oveq1d 6807 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
4433, 43eleqtrd 2851 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
451, 2, 3, 18, 30, 31, 44axtgbtwnid 25585 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
4645oveq1d 6807 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 𝐻) = (𝐹 𝐻))
4717, 28, 463eqtr3d 2812 . . 3 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
484ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4948ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5049ad2antrr 697 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51 simp-4r 762 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑒𝑃)
5219ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
5352ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐶𝑃)
5453ad2antrr 697 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶𝑃)
556ad6antr 712 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐵𝑃)
56 simplr 744 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑓𝑃)
5729ad4antr 704 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐾𝑃)
5857ad2antrr 697 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾𝑃)
5910ad6antr 712 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐹𝑃)
608ad6antr 712 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐷𝑃)
6113ad6antr 712 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐻𝑃)
62 simpllr 752 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒))
6362simprd 477 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶𝑒)
6463necomd 2997 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑒𝐶)
6536ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
6665ad4antr 704 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐴𝑃)
6722ad6antr 712 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6862simpld 476 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
691, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68tgbtwnexch3 25609 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
701, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69tgbtwncom 25603 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
7134ad6antr 712 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐸𝑃)
7232ad6antr 712 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73 simprl 746 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
741, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73tgbtwnexch3 25609 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
751, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74tgbtwncom 25603 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76 simprr 748 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))
7776eqcomd 2776 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝑒) = (𝐾 𝑓))
781, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77tgcgrcomlr 25595 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝑒 𝐶) = (𝑓 𝐾))
79 tgifscgr.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
8079ad6antr 712 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
811, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80tgcgrcomlr 25595 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝐵) = (𝐾 𝐹))
82 simp-5r 766 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐴𝐶)
8339ad6antr 712 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
84 tgifscgr.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
8584ad6antr 712 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
8616ad6antr 712 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
871, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86axtg5seg 25584 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝑒 𝐷) = (𝑓 𝐻))
881, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86axtg5seg 25584 . . . . 5 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
8934ad4antr 704 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐸𝑃)
90 simplr 744 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝑒𝑃)
911, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90axtgsegcon 25583 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → ∃𝑓𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒)))
9288, 91r19.29a 3225 . . . 4 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
93 simplr 744 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
941, 2, 3, 48, 65, 52, 93tgbtwndiff 25621 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑒𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒))
9592, 94r19.29a 3225 . . 3 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
9647, 95pm2.61dane 3029 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
971, 36tgldimor 25617 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
9815, 96, 97mpjaodan 939 1 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138  cle 10276  2c2 11271  chash 13320  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  25624  tgbtwnxfr  25645  tgfscgr  25683  tgbtwnconn1lem3  25689  miriso  25785  krippenlem  25805  midexlem  25807  colperpexlem1  25842  opphllem  25847
  Copyright terms: Public domain W3C validator