MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcgrxfr 25633
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgcgrxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgcgrxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgcgrxfr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrxfr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgcgrxfr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒   ,𝑒   ,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
3 tgcgrxfr.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tgcgrxfr.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 tgcgrxfr.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tgcgrxfr.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 tgcgrxfr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
10 tgcgrxfr.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹𝑃)
12 simpr 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 25619 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14 tgcgrxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
15 tgcgrxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1615adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
17 tgcgrxfr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1817adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 25620 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐴))
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 25620 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐹))
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 25620 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 25631 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23 eleq1 2837 . . . . 5 (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24 eqidd 2771 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴𝐷 = 𝐷)
25 id 22 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴𝑒 = 𝐴)
26 eqidd 2771 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴𝐹 = 𝐹)
2724, 25, 26s3eqd 13817 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
2827breq2d 4796 . . . . 5 (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
2923, 28anbi12d 608 . . . 4 (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
3029rspcev 3458 . . 3 ((𝐴𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
312, 13, 22, 30syl12anc 1473 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
326ad3antrrr 701 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33 simplr 744 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝑔𝑃)
348ad3antrrr 701 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐷𝑃)
351ad3antrrr 701 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐴𝑃)
3615ad3antrrr 701 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐵𝑃)
373, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36axtgsegcon 25583 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → ∃𝑒𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)))
386ad7antr 716 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3933ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝑔𝑃)
4039ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑔𝑃)
418ad7antr 716 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑃)
42 simplr 744 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝑒𝑃)
4342ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒𝑃)
44 simplr 744 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑓𝑃)
45 simpllr 752 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)))
4645simpld 476 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
47 simprl 746 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
483, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch3 25609 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
491ad7antr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴𝑃)
5017ad7antr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐶𝑃)
5110ad7antr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐹𝑃)
52 simp-5r 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔))
5352simprd 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑔)
5453necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑔𝐷)
553, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch 25613 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
5652simpld 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
573, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56tgbtwncom 25603 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
5815ad7antr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵𝑃)
59 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6059ad7antr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6145simprd 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))
62 simprr 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))
633, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62tgcgrextend 25600 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝑓) = (𝐴 𝐶))
64 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
6564ad7antr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
6665eqcomd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝐹) = (𝐴 𝐶))
673, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66tgsegconeq 25601 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
6867oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
6948, 68eleqtrd 2851 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
7061eqcomd 2776 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝑒))
7167oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 𝑓) = (𝑒 𝐹))
7262, 71eqtr3d 2806 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝑒 𝐹))
733, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64tgcgrcomlr 25595 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
7473ad7antr 716 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
753, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74trgcgr 25631 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
7669, 75jca 495 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
7732ad2antrr 697 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7836ad2antrr 697 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵𝑃)
7917ad5antr 708 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐶𝑃)
803, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79axtgsegcon 25583 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → ∃𝑓𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶)))
8176, 80r19.29a 3225 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
8281ex 397 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
8382reximdva 3164 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → (∃𝑒𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
8437, 83mpd 15 . . 3 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
856adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8610adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹𝑃)
878adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷𝑃)
88 simpr 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
893, 4, 5, 85, 86, 87, 88tgbtwndiff 25621 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑔𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔))
9084, 89r19.29a 3225 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
913, 1tgldimor 25617 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
9231, 90, 91mpjaodan 939 1 (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138  cle 10276  2c2 11271  chash 13320  ⟨“cs3 13795  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  cgrGccgrg 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626
This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  25645  lnext  25682  midexlem  25807
  Copyright terms: Public domain W3C validator