Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgblthelfgottOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgblthelfgottOLD 42237
 Description: Obsolete version of tgblthelfgott 42231 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tgblthelfgottOLD ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgblthelfgottOLD
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hgprmladderOLD 42236 . 2 𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
2 1nn0 11520 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3 1nn 11243 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11730 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ
54nnzi 11613 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℤ
6 8nn0 11527 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
7 8nn 11403 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11730 . . . . . . . . . . . 12 88 ∈ ℕ
9 10nnOLD 11405 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
10 2nn0 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
11 9nn 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℕ
1210, 11decnncl 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 29 ∈ ℕ
1312nnnn0i 11512 . . . . . . . . . . . . 13 29 ∈ ℕ0
14 nnexpcl 13087 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
159, 13, 14mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (10↑29) ∈ ℕ
168, 15nnmulcli 11256 . . . . . . . . . . 11 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
1716nnzi 11613 . . . . . . . . . 10 (88 · (10↑29)) ∈ ℤ
18 1re 10251 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
198nnrei 11241 . . . . . . . . . . . . 13 88 ∈ ℝ
2018, 19pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ)
21 0le1 10763 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
22 1lt10OLD 11450 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 10
237, 6, 2, 22decltiOLD 11760 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 88
2421, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)
25 nnexpcl 13087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (10↑1) ∈ ℕ)
269, 2, 25mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) ∈ ℕ
2726nnrei 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) ∈ ℝ
2815nnrei 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑29) ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ)
30 0re 10252 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
31 10reOLD 11321 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ ℝ
32 10posOLD 11335 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 10
3330, 31, 32ltleii 10372 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 10
349nncni 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ ℂ
35 exp1 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
3733, 36breqtrri 4831 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (10↑1)
38 1z 11619 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
3912nnzi 11613 . . . . . . . . . . . . . . 15 29 ∈ ℤ
4031, 38, 393pm3.2i 1424 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ)
41 2nn 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
42 9nn0 11528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℕ0
4341, 42, 2, 22decltiOLD 11760 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 29
4422, 43pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 < 10 ∧ 1 < 29)
45 ltexp2a 13126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 29)) → (10↑1) < (10↑29))
4640, 44, 45mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) < (10↑29)
4737, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29))
48 ltmul12a 11091 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29)))) → (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)))
4920, 24, 29, 47, 48mp4an 711 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29))
5026nnzi 11613 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) ∈ ℤ
51 zmulcl 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
5238, 50, 51mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53 zltp1le 11639 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29))))
5452, 17, 53mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)))
55 1t10e1p1e11OLD 41848 . . . . . . . . . . . . . 14 11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
5655eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · (10↑1)) + 1) = 11
5756breq1i 4811 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5854, 57bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5949, 58mpbi 220 . . . . . . . . . 10 11 ≤ (88 · (10↑29))
60 eluz2 11905 . . . . . . . . . 10 ((88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (88 · (10↑29))))
615, 17, 59, 60mpbir3an 1427 . . . . . . . . 9 (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11)
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11))
63 4nn 11399 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
642, 7decnncl 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 18 ∈ ℕ
6564nnnn0i 11512 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℕ0
66 nnexpcl 13087 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (10↑18) ∈ ℕ)
679, 65, 66mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (10↑18) ∈ ℕ
6863, 67nnmulcli 11256 . . . . . . . . . . 11 (4 · (10↑18)) ∈ ℕ
6968nnzi 11613 . . . . . . . . . 10 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
70 4re 11309 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
7118, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72 1lt4 11411 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 4
7321, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
7467nnrei 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑18) ∈ ℝ
7527, 74pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ)
7664nnzi 11613 . . . . . . . . . . . . . . 15 18 ∈ ℤ
7731, 38, 763pm3.2i 1424 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ)
783, 6, 2, 22decltiOLD 11760 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 18
7922, 78pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 < 10 ∧ 1 < 18)
80 ltexp2a 13126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 18)) → (10↑1) < (10↑18))
8177, 79, 80mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) < (10↑18)
8237, 81pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18))
83 ltmul12a 11091 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)))
8471, 73, 75, 82, 83mp4an 711 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18))
85 4z 11623 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
8667nnzi 11613 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑18) ∈ ℤ
87 zmulcl 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑18)) ∈ ℤ)
8885, 86, 87mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
89 zltp1le 11639 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18))))
9052, 88, 89mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)))
9156breq1i 4811 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9290, 91bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9384, 92mpbi 220 . . . . . . . . . 10 11 ≤ (4 · (10↑18))
94 eluz2 11905 . . . . . . . . . 10 ((4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (4 · (10↑18))))
955, 69, 93, 94mpbir3an 1427 . . . . . . . . 9 (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11)
9695a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11))
97 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 4 < 𝑛)
99 evenz 42071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10099zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
10168nnrei 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 · (10↑18)) ∈ ℝ
102 ltle 10338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
103100, 101, 102sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
104103a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))))
105104imp32 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))
106 ax-bgbltosilvaOLD 42234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛𝑛 ≤ (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
10797, 98, 105, 106syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108107ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110109ralrimiv 3103 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ‘3))
112111ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ‘3))
113 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114113ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
116115ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
117 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118117ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119 simpl2 1230 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓‘1) = 13)
120119ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘1) = 13)
1216, 11decnncl 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15 89 ∈ ℕ
122121nnrei 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 89 ∈ ℝ
12315nngt0i 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (10↑29)
12428, 123pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))
12519, 122, 1243pm3.2i 1424 . . . . . . . . . . . . 13 (88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29)))
126 8lt9 11434 . . . . . . . . . . . . . 14 8 < 9
1276, 6, 11, 126declt 11742 . . . . . . . . . . . . 13 88 < 89
128 ltmul1a 11084 . . . . . . . . . . . . 13 (((88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))) ∧ 88 < 89) → (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29)))
129125, 127, 128mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))
130 breq2 4808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑) ↔ (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))))
131129, 130mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
1321313ad2ant3 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
133132adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
134133ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
135121, 15nnmulcli 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (89 · (10↑29)) ∈ ℕ
136135nnrei 11241 . . . . . . . . . . . 12 (89 · (10↑29)) ∈ ℝ
137 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((𝑓𝑑) ∈ ℝ ↔ (89 · (10↑29)) ∈ ℝ))
138136, 137mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
1391383ad2ant3 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
140139adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
141140ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
14262, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141bgoldbtbnd 42225 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
143142exp31 631 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
144143rexlimdva 3169 . . . . 5 (𝑑 ∈ (ℤ‘3) → (∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
145144imp 444 . . . 4 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ ∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
146145rexlimiva 3166 . . 3 (∃𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
147 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
148 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (88 · (10↑29)) ↔ 𝑁 < (88 · (10↑29))))
149147, 148anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) ↔ (7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))))
150 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
151149, 150imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152151rspcv 3445 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153152com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
1541533impib 1109 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155146, 154sylcom 30 . 2 (∃𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1561, 155ax-mp 5 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∖ cdif 3712  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℕcn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  10c10 11290  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ;cdc 11705  ℤ≥cuz 11899  ..^cfzo 12679  ↑cexp 13074  ℙcprime 15607  RePartciccp 41877   Even ceven 42065   Odd codd 42066   GoldbachEven cgbe 42161   GoldbachOdd cgbo 42163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-bgbltosilvaOLD 42234  ax-hgprmladderOLD 42236 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-10OLD 11299  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-prm 15608  df-iccp 41878  df-even 42067  df-odd 42068  df-gbe 42164  df-gbo 42166 This theorem is referenced by:  tgoldbachltOLD  42238
 Copyright terms: Public domain W3C validator