Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoipl 36606
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
tendoi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoi.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendoi.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoipl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠   𝐵,𝑓   𝑡,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑡,𝑓,𝑠,𝑇   𝑡,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendoicl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoicl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendoicl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 tendoicl.i . . . 4 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
62, 3, 4, 5tendoicl 36605 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
7 simpr 471 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆𝐸)
8 tendoi.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
92, 3, 4, 8tendoplcl 36590 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
101, 6, 7, 9syl3anc 1476 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11 tendoi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 tendoi.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 36599 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1413adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑂𝐸)
155, 3tendoi2 36604 . . . . . . 7 ((𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
1615adantll 693 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
1716coeq1d 5422 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
18 simpll 750 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
192, 3, 4tendocl 36576 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
20193expa 1111 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
2111, 2, 3ltrn1o 35932 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
2218, 20, 21syl2anc 573 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
23 f1ococnv1 6306 . . . . . 6 ((𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵 → ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
2517, 24eqtrd 2805 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
266adantr 466 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
27 simplr 752 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
28 simpr 471 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
298, 3tendopl2 36586 . . . . 5 (((𝐼𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
3112, 11tendo02 36596 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
3231adantl 467 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
3325, 30, 323eqtr4d 2815 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
3433ralrimiva 3115 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ∀𝑔𝑇 (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
352, 3, 4tendoeq1 36573 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸𝑂𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1481 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cmpt 4863   I cid 5156  ccnv 5248  cres 5251  ccom 5253  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  Basecbs 16064  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  TEndoctendo 36561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564
This theorem is referenced by:  tendoipl2  36607  erngdvlem1  36797  erngdvlem1-rN  36805
  Copyright terms: Public domain W3C validator