Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoid0 36633
Description: A trace-preserving endomorphism is the additive identity iff at least one of its values (at a non-identity translation) is the identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoid0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoid0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
2 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3 tendoid0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
42, 3tendo02 36595 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
65eqeq2d 2770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = (𝑂𝐹) ↔ (𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
7 simpl1 1228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simpl2 1230 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝑈𝐸)
9 tendoid0.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 tendoid0.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
123, 9, 10, 11, 2tendo0cl 36598 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
137, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝑂𝐸)
14 simpr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹))
15 simpl3l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝐹𝑇)
16 simpl3r 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
173, 9, 10, 11tendocan 36632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑂𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑂)
187, 8, 13, 14, 15, 16, 17syl132anc 1495 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝑈 = 𝑂)
1918ex 449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = (𝑂𝐹) → 𝑈 = 𝑂))
206, 19sylbird 250 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) → 𝑈 = 𝑂))
21 fveq1 6352 . . . 4 (𝑈 = 𝑂 → (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹))
2221eqeq1d 2762 . . 3 (𝑈 = 𝑂 → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
235, 22syl5ibrcom 237 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 = 𝑂 → (𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
2420, 23impbid 202 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cmpt 4881   I cid 5173  cres 5268  cfv 6049  Basecbs 16079  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  TEndoctendo 36560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tendo 36563
This theorem is referenced by:  tendoconid  36637  tendotr  36638  cdleml3N  36786  tendospcanN  36832
  Copyright terms: Public domain W3C validator