Theorem tendoicl 36586

Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))

Assertion

Ref	Expression
tendoicl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendoicl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simpl 474	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpll 807	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	2, 3, 5	tendocl 36557	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
9	8	3expa 1112	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
10	2, 3	ltrncnv 35935	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 9, 10	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔))
13	11, 12	fmptd 6548	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇)
14		tendoicl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
15	14, 3	tendoi 36584	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
16	15	adantl 473	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
17	16	feq1d 6191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇))
18	13, 17	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇)
19		simp1r 1241	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
20	2, 3	ltrnco 36509	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
21	20	3adant1r 1188	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
22	14, 3	tendoi2 36585	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
23	19, 21, 22	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
24		cnvco 5463	. . . 4 ⊢ ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ))
25	2, 3	ltrncom 36528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
26	25	3adant1r 1188	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
27	26	fveq2d 6356	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)))
28		simp1ll 1303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
29		simp1lr 1304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
30		simp3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
31		simp2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
32	2, 3, 5	tendovalco 36555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
33	28, 29, 19, 30, 31, 32	syl32anc 1485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
34	27, 33	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
35	34	cnveqd 5453	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
36	14, 3	tendoi2 36585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
37	19, 31, 36	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
38	14, 3	tendoi2 36585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
39	19, 30, 38	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
40	37, 39	coeq12d 5442	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ)))
41	24, 35, 40	3eqtr4a 2820	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
42	23, 41	eqtrd 2794	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
43	36	adantll 752	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
44	43	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)))
45	2, 3, 4	trlcnv 35955	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
46	7, 9, 45	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
47	44, 46	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
48	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 36551	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
49	48	3expa 1112	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
50	47, 49	eqbrtrd 4826	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50	istendod 36552	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ^◡ccnv 5265   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  lecple 16150  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890  trLctrl 35948  TEndoctendo 36542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-riotaBAD 34742

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-undef 7568  df-map 8025  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tendo 36545

This theorem is referenced by:  tendoipl  36587  tendoipl2  36588  erngdvlem1  36778  erngdvlem1-rN  36786  dihjatcclem4  37212