Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocoval 36575
Description: Value of composition of endomorphisms in a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocoval (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉𝐹)))

Proof of Theorem tendocoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
2 simp2r 1240 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉𝐸)
3 tendof.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 tendof.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 tendof.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5tendof 36572 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → 𝑉:𝑇𝑇)
71, 2, 6syl2anc 693 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉:𝑇𝑇)
8 simp3 1130 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
9 fvco3 6416 . 2 ((𝑉:𝑇𝑇𝐹𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉𝐹)))
107, 8, 9syl2anc 693 1 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  ccom 5252  wf 6026  cfv 6030  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  TEndoctendo 36561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-map 8009  df-tendo 36564
This theorem is referenced by:  tendococl  36581  tendodi1  36593  tendodi2  36594  tendo0mul  36635  tendo0mulr  36636  cdleml3N  36787  cdleml7  36791  dvhlveclem  36918  dih1dimatlem0  37138
  Copyright terms: Public domain W3C validator