Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoconid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoconid 36637
 Description: The composition (product) of trace-preserving endormorphisms is nonzero when each argument is nonzero. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoconid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) → (𝑈𝑉) ≠ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoconid
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 36376 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
543ad2ant1 1128 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simpl1 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpl3l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
8 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 8tendof 36571 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → 𝑉:𝑇𝑇)
106, 7, 9syl2anc 696 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉:𝑇𝑇)
11 simprl 811 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔𝑇)
12 fvco3 6438 . . . . 5 ((𝑉:𝑇𝑇𝑔𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
1310, 11, 12syl2anc 696 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
14 simpl2r 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝑂)
15 simpl2l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
162, 3, 8tendocl 36575 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
176, 7, 11, 16syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
18 simpl3r 1289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝑂)
19 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
20 tendoid0.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
211, 2, 3, 8, 20tendoid0 36633 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸 ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
226, 7, 19, 21syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
2322necon3bid 2976 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉𝑂))
2418, 23mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
251, 2, 3, 8, 20tendoid0 36633 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ ((𝑉𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
266, 15, 17, 24, 25syl112anc 1481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
2726necon3bid 2976 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈𝑂))
2814, 27mpbird 247 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑉𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵))
2913, 28eqnetrd 2999 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
302, 8tendococl 36580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
316, 15, 7, 30syl3anc 1477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
321, 2, 3, 8, 20tendoid0 36633 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈𝑉) = 𝑂))
336, 31, 19, 32syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈𝑉) = 𝑂))
3433necon3bid 2976 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈𝑉) ≠ 𝑂))
3529, 34mpbid 222 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑉) ≠ 𝑂)
365, 35rexlimddv 3173 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) → (𝑈𝑉) ≠ 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ↦ cmpt 4881   I cid 5173   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  TEndoctendo 36560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tendo 36563 This theorem is referenced by:  erngdvlem4  36799  erngdvlem4-rN  36807
 Copyright terms: Public domain W3C validator