Theorem tendocl 36372

Description: Closure of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tendocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendof.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendof.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendof 36368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆:𝑇⟶𝑇)
5	4	3adant3 1101	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑆:𝑇⟶𝑇)
6		simp3 1083	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
7	5, 6	ffvelrnd 6400	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  TEndoctendo 36357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-tendo 36360

This theorem is referenced by:  tendoco2  36373  tendococl  36377  tendoid  36378  tendoplcl2  36383  tendopltp  36385  tendoplcl  36386  tendoplcom  36387  tendodi1  36389  tendodi2  36390  tendo0pl  36396  tendoicl  36401  tendoipl  36402  cdlemi1  36423  cdlemi2  36424  cdlemi  36425  cdlemj2  36427  tendo0mul  36431  tendoconid  36434  tendotr  36435  cdleml1N  36581  cdleml2N  36582  cdleml6  36586  dva1dim  36590  tendospcl  36624  tendocnv  36627  tendospcanN  36629  dvalveclem  36631  dialss  36652  dvhvscacl  36709  dvhlveclem  36714  dib1dim  36771  dib1dim2  36774  diblss  36776  dicssdvh  36792  diclspsn  36800  cdlemn6  36808  dihopelvalcpre  36854  dih1  36892  dihglbcpreN  36906  dih1dimatlem0  36934  dih1dimatlem  36935