Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0mul 36628
 Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0mul (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0mul
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 36370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
54adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simpll 742 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
91, 2, 3, 7, 8tendo0cl 36592 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
109ad2antrr 697 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂𝐸)
11 simplr 744 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
122, 7tendococl 36574 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐸)
136, 10, 11, 12syl3anc 1475 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐸)
14 simprl 746 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔𝑇)
152, 3, 7tendocl 36569 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
166, 11, 14, 15syl3anc 1475 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
178, 1tendo02 36589 . . . . 5 ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝑈𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘(𝑈𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
192, 3, 7tendocoval 36568 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑂𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈𝑔)))
206, 10, 11, 14, 19syl121anc 1480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈𝑔)))
218, 1tendo02 36589 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2221ad2antrl 699 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2318, 20, 223eqtr4d 2814 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
24 simpr 471 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
251, 2, 3, 7tendocan 36626 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑂𝑈) ∈ 𝐸𝑂𝐸 ∧ ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
266, 13, 10, 23, 24, 25syl131anc 1488 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3182 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∃wrex 3061   ↦ cmpt 4861   I cid 5156   ↾ cres 5251   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6031  Basecbs 16063  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  TEndoctendo 36554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-riotaBAD 34754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-undef 7550  df-map 8010  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tendo 36557 This theorem is referenced by:  cdleml5N  36782  cdleml9  36786
 Copyright terms: Public domain W3C validator