MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsums Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsums 18436
Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsums.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m = (-g𝐺)
telgsums.0 0 = (0g𝐺)
telgsums.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
telgsums.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
telgsums (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = 0 / 𝑘𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsums
StepHypRef Expression
1 telgsums.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 telgsums.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 telgsums.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
4 ablcmn 18245 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 ablgrp 18244 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10 telgsums.f . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
12 rspcsbela 4039 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
139, 11, 12syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
14 peano2nn0 11371 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15 rspcsbela 4039 . . . . . 6 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
1614, 10, 15syl2anr 494 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
17 telgsums.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
181, 17grpsubcl 17542 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
198, 13, 16, 18syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2019ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
21 telgsums.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
22 telgsums.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
23 rspsbca 3552 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
24 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
25 sbcimg 3510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘[𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
26 sbcbr2g 4743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑖 / 𝑘𝑘))
27 csbvarg 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
2827breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ V → (𝑆 < 𝑖 / 𝑘𝑘𝑆 < 𝑖))
2926, 28bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑖))
30 sbceq1g 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3129, 30imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘[𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3225, 31bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3423, 33sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3534expcom 450 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3622, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3736imp31 447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )
3821nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
41 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
4241ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
4314ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
4443nn0red 11390 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
45 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
4642ltp1d 10992 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
4740, 42, 44, 45, 46lttrd 10236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
4847ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖𝑆 < (𝑖 + 1)))
49 rspsbca 3552 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
50 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 + 1) ∈ V
51 sbcimg 3510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
52 sbcbr2g 4743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘))
53 csbvarg 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘 = (𝑖 + 1))
5453breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘𝑆 < (𝑖 + 1)))
5552, 54bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑖 + 1)))
56 sbceq1g 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
5755, 56imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
5851, 57bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
5950, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6049, 59sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6114, 22, 60syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6248, 61syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6362imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )
6437, 63oveq12d 6708 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ( 0 0 ))
658adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
661, 2grpidcl 17497 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
6765, 66jccir 561 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝐵))
681, 2, 17grpsubid 17546 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 0 ) = 0 )
6967, 68syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 0 ) = 0 )
7064, 69eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 )
7170ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 ))
7271ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 ))
731, 2, 5, 20, 21, 72gsummptnn0fzv 18429 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))))
74 fzssuz 12420 . . . . . 6 (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
7574a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
76 nn0uz 11760 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
7775, 76syl6sseqr 3685 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
78 ssralv 3699 . . . 4 ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶𝐵))
7977, 10, 78sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶𝐵)
801, 3, 17, 21, 79telgsumfz0s 18434 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶))
81 peano2nn0 11371 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
8221, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
8338ltp1d 10992 . . . . 5 (𝜑𝑆 < (𝑆 + 1))
84 rspsbca 3552 . . . . . . 7 (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
85 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑆 + 1) ∈ V
86 sbcimg 3510 . . . . . . . . 9 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
87 sbcbr2g 4743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘))
88 csbvarg 4036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘 = (𝑆 + 1))
8988breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘𝑆 < (𝑆 + 1)))
9087, 89bitrd 268 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑆 + 1)))
91 sbceq1g 4021 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0(𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9290, 91imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9386, 92bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9485, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9584, 94sylib 208 . . . . . 6 (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9695ex 449 . . . . 5 ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9782, 22, 83, 96syl3c 66 . . . 4 (𝜑(𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )
9897oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶) = (0 / 𝑘𝐶 0 ))
99 0nn0 11345 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
10099a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
101 rspcsbela 4039 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 0 / 𝑘𝐶𝐵)
102100, 10, 101syl2anc 694 . . . 4 (𝜑0 / 𝑘𝐶𝐵)
1031, 2, 17grpsubid1 17547 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 / 𝑘𝐶𝐵) → (0 / 𝑘𝐶 0 ) = 0 / 𝑘𝐶)
1047, 102, 103syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 0 ) = 0 / 𝑘𝐶)
10598, 104eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 / 𝑘𝐶)
10673, 80, 1053eqtrd 2689 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = 0 / 𝑘𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  [wsbc 3468  csb 3566  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  0cn0 11330  cuz 11725  ...cfz 12364  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  CMndccmn 18239  Abelcabl 18240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242
This theorem is referenced by:  telgsum  18437
  Copyright terms: Public domain W3C validator