MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telfsumo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telfsumo2 14755
Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶𝐵) = (𝐸𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo2
StepHypRef Expression
1 telfsumo.1 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
21negeqd 10488 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → -𝐴 = -𝐵)
3 telfsumo.2 . . . 4 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
43negeqd 10488 . . 3 (𝑘 = (𝑗 + 1) → -𝐴 = -𝐶)
5 telfsumo.3 . . . 4 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
65negeqd 10488 . . 3 (𝑘 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐷)
7 telfsumo.4 . . . 4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
87negeqd 10488 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐸)
9 telfsumo.5 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
10 telfsumo.6 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1110negcld 10592 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
122, 4, 6, 8, 9, 11telfsumo 14754 . 2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = (-𝐷 − -𝐸))
1310ralrimiva 3105 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
14 elfzofz 12700 . . . . 5 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
151eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1615rspccva 3449 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1713, 14, 16syl2an 495 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 fzofzp1 12780 . . . . 5 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
193eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
2019rspccva 3449 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2113, 18, 20syl2an 495 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2217, 21neg2subd 10622 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶𝐵))
2322sumeq2dv 14653 . 2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶𝐵))
245eleq1d 2825 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
25 eluzfz1 12562 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
269, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
2724, 13, 26rspcdva 3456 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
287eleq1d 2825 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
29 eluzfz2 12563 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
309, 29syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3128, 13, 30rspcdva 3456 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
3227, 31neg2subd 10622 . 2 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐸) = (𝐸𝐷))
3312, 23, 323eqtr3d 2803 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶𝐵) = (𝐸𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  1c1 10150   + caddc 10152  cmin 10479  -cneg 10480  cuz 11900  ...cfz 12540  ..^cfzo 12680  Σcsu 14636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637
This theorem is referenced by:  telfsum2  14757  dvfsumle  24004  dvfsumabs  24006  advlogexp  24622
  Copyright terms: Public domain W3C validator