Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 24039
 Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19965 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 19985 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 19966 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 19983 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 18789 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simp1 1130 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 19580 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 11499 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
11 fss 6196 . . . . 5 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 574 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13123adant3 1126 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
148psrbagf 19580 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
15 fss 6196 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1614, 10, 15sylancl 574 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
17163adant2 1125 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
188psrbagfsupp 19724 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 455 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1126 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsupp 19724 . . . . 5 ((𝑌𝐴𝐼𝑉) → 𝑌 finSupp 0)
2221ancoms 455 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
23223adant2 1125 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 18530 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddcl 19585 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 6801 . . . 4 ( = (𝑋𝑓 + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 6823 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6424 . . 3 ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)))
31 oveq2 6801 . . . . 5 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 6823 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6424 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 6801 . . . . 5 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 6823 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6424 . . . 4 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 6812 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38373adant1 1124 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3924, 30, 383eqtr4d 2815 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ◡ccnv 5248   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ∘𝑓 cof 7042   ↑𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431  ℂcc 10136  0cc0 10138   + caddc 10141  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494   Σg cgsu 16309  CMndccmn 18400  Ringcrg 18755  ℂfldccnfld 19961 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-cnfld 19962 This theorem is referenced by:  mdegmullem  24058
 Copyright terms: Public domain W3C validator