Theorem tdeglem2 24041

Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tdeglem2	⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℎ‘∅)) = (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Proof of Theorem tdeglem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8031	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ℎ:{∅}⟶ℕ0)
2	1	feqmptd 6391	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ℎ = (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥)))
3	2	oveq2d 6809	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))))
4		cnring 19983	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringmnd 18764	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ℂfld ∈ Mnd)
7		0ex 4924	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ∅ ∈ V)
9	7	snid 4347	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
10		ffvelrn 6500	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ:{∅}⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℕ0)
11	1, 9, 10	sylancl 574	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11555	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℂ)
13		cnfldbas 19965	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		fveq2 6332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘∅))
15	13, 14	gsumsn 18561	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (ℎ‘∅) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))) = (ℎ‘∅))
16	6, 8, 12, 15	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))) = (ℎ‘∅))
17	3, 16	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℎ‘∅))
18		df1o2 7726	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
19	18	oveq2i 6804	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = (ℕ0 ↑𝑚 {∅})
20	17, 19	eleq2s 2868	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℎ‘∅))
21	20	eqcomd 2777	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (ℎ‘∅) = (ℂfld Σg ℎ))
22	21	mpteq2ia 4874	1 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℎ‘∅)) = (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ∅c0 4063  {csn 4316   ↦ cmpt 4863  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1_𝑜c1o 7706   ↑_𝑚 cmap 8009  ℂcc 10136  ℕ₀cn0 11494   Σ_g cgsu 16309  Mndcmnd 17502  Ringcrg 18755  ℂ_fldccnfld 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-cring 18758  df-cnfld 19962

This theorem is referenced by:  deg1ldg  24072  deg1leb  24075  deg1val  24076