Theorem tcid 8783

Description: Defining property of the transitive closure function: it contains its argument as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tcid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))

Proof of Theorem tcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssmin 4631	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
2		tcvalg 8782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TC‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
3	1, 2	syl5sseqr 3803	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  {cab 2757   ⊆ wss 3723  ∩ cint 4612  Tr wtr 4887  ‘cfv 6030  TCctc 8780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-tc 8781

This theorem is referenced by:  tc2  8786  tcidm  8790  tc00  8792  tcrank  8915  itunitc1  9448  hsmexlem4  9457