Theorem tchphl 23245

Description: Augmentation of a subcomplex pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space because all the original components are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tchval.n	⊢ 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchphl	⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tchphl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2772	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		tchval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
3		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	tchbas 23237	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7	2, 6	tchplusg 23238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺))
9	8	oveqdr 6819	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
10		eqidd 2772	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	2, 11	tchsca 23241	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	2, 15	tchvsca 23242	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺))
18	17	oveqdr 6819	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦))
19		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	2, 19	tchip 23243	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺))
22	21	oveqdr 6819	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝐺)𝑦))
23	1, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22	phlpropd 20217	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
24	23	trud 1641	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  ⊤wtru 1632   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·_𝑠 cvsca 16153  ·_𝑖cip 16154  PreHilcphl 20186  toℂHilctch 23186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ds 16172  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-phl 20188  df-tng 22609  df-tch 23188

This theorem is referenced by:  tchcph  23255