Theorem tchex 23062

Description: Lemma for tchbas 23064 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tchex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchex	⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   , (𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem tchex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2		fvrn0 6254	. . . 4 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
4	1, 3	fmpti 6423	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
5		tchex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		fvex 6239	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2726	. 2 ⊢ 𝑉 ∈ V
8		cnex 10055	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
9		sqrtf 14147	. . . . 5 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
10		frn 6091	. . . . 5 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
12	8, 11	ssexi 4836	. . 3 ⊢ ran √ ∈ V
13		p0ex 4883	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
14	12, 13	unex 6998	. 2 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
15		fex2 7163	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V)
16	4, 7, 14, 15	mp3an 1464	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  √csqrt 14017  Basecbs 15904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020

This theorem is referenced by:  tchbas  23064  tchplusg  23065  tchmulr  23067  tchsca  23068  tchvsca  23069  tchip  23070  tchtopn  23071  tchds  23076