MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylthlem2 24347
Description: Lemma for taylth 24348. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
taylth.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
taylth.d (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylth.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylth.b (𝜑𝐵𝐴)
taylth.t 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
taylthlem2.m (𝜑𝑀 ∈ (1..^𝑁))
taylthlem2.i (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
taylthlem2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem taylthlem2
Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylth.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 taylth.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
3 fz1ssfz0 12649 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
4 taylthlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (1..^𝑁))
5 fzofzp1 12779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1..^𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
73, 6sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (0...𝑁))
8 fznn0sub2 12660 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ (0...𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ (0...𝑁))
10 elfznn0 12646 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0)
12 dvnfre 23934 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))⟶ℝ)
132, 1, 11, 12syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))⟶ℝ)
14 reelprrecn 10240 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16 cnex 10229 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
18 reex 10239 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ V)
20 ax-resscn 10205 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
21 fss 6217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
222, 20, 21sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
23 elpm2r 8043 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2417, 19, 22, 1, 23syl22anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
25 dvnbss 23910 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
2615, 24, 11, 25syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
27 fdm 6212 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
282, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
2926, 28sseqtrd 3782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ⊆ 𝐴)
30 taylth.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
31 dvn2bss 23912 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ (0...𝑁)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))))
3215, 24, 9, 31syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))))
3330, 32eqsstr3d 3781 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))))
3429, 33eqssd 3761 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) = 𝐴)
3534feq2d 6192 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):𝐴⟶ℝ))
3613, 35mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):𝐴⟶ℝ)
3736ffvelrnda 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℝ)
381sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
39 fvres 6369 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ↾ ℝ)‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))
4039adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ↾ ℝ)‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))
41 resubdrg 20176 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4241simpli 476 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld))
44 taylth.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4544nnnn0d 11563 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
46 taylth.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝐴)
4746, 30eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
48 taylth.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
491, 46sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
502adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
511adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
52 elfznn0 12646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54 dvnfre 23934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℝ)
5550, 51, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℝ)
5614a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5724adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
58 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
59 dvn2bss 23912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘))
6147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6260, 61sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘))
6355, 62ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℝ)
64 faccl 13284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6663, 65nndivred 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
6715, 22, 1, 45, 47, 48, 43, 49, 66taylply2 24341 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
6867simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘ℝ))
69 dvnply2 24261 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (Poly‘ℝ))
7043, 68, 11, 69syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (Poly‘ℝ))
71 plyreres 24257 . . . . . . . . 9 (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (Poly‘ℝ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7372ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ↾ ℝ)‘𝑦) ∈ ℝ)
7440, 73eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℝ)
7538, 74syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℝ)
7637, 75resubcld 10670 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)) ∈ ℝ)
77 eqid 2760 . . . 4 (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))
7876, 77fmptd 6549 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))):𝐴⟶ℝ)
7949adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8038, 79resubcld 10670 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦𝐵) ∈ ℝ)
81 elfzouz 12688 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (1..^𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
824, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
83 nnuz 11936 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
8482, 83syl6eleqr 2850 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
8584nnnn0d 11563 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8685adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ0)
87 1nn0 11520 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8887a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 1 ∈ ℕ0)
8986, 88nn0addcld 11567 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
9080, 89reexpcld 13239 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
91 eqid 2760 . . . 4 (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) = (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
9290, 91fmptd 6549 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))):𝐴⟶ℝ)
93 retop 22786 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
94 uniretop 22787 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
9594ntrss2 21083 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
9693, 1, 95sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
9744nncnd 11248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9884nncnd 11248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
99 1cnd 10268 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10097, 98, 99nppcan2d 10630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝑁𝑀))
101100fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)))
10220a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
103 dvnp1 23907 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
104102, 24, 11, 103syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
105101, 104eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
106105dmeqd 5481 . . . . . . 7 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) = dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
107 fzonnsub 12707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
1084, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
109108nnnn0d 11563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
110 dvnbss 23910 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) ⊆ dom 𝐹)
11115, 24, 109, 110syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) ⊆ dom 𝐹)
112111, 28sseqtrd 3782 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) ⊆ 𝐴)
113 elfzofz 12699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1..^𝑁) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
1144, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
1153, 114sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
116 fznn0sub2 12660 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ (0...𝑁))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ (0...𝑁))
118 dvn2bss 23912 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ (𝑁𝑀) ∈ (0...𝑁)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)))
11915, 24, 117, 118syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)))
12030, 119eqsstr3d 3781 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)))
121112, 120eqssd 3761 . . . . . . 7 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) = 𝐴)
122106, 121eqtr3d 2796 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))) = 𝐴)
123 fss 6217 . . . . . . . 8 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):𝐴⟶ℂ)
12436, 20, 123sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):𝐴⟶ℂ)
125 eqid 2760 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
126125tgioo2 22827 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
127102, 124, 1, 126, 125dvbssntr 23883 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴))
128122, 127eqsstr3d 3781 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴))
12996, 128eqssd 3761 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
13094isopn3 21092 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
13193, 1, 130sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
132129, 131mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
133 eqid 2760 . . 3 (𝐴 ∖ {𝐵}) = (𝐴 ∖ {𝐵})
134 difss 3880 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13537recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℂ)
136 dvnf 23909 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))⟶ℂ)
13715, 24, 109, 136syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))⟶ℂ)
138121feq2d 6192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))⟶ℂ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):𝐴⟶ℂ))
139137, 138mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):𝐴⟶ℂ)
140139ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) ∈ ℂ)
141 dvnfre 23934 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))⟶ℝ)
1422, 1, 109, 141syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))⟶ℝ)
143121feq2d 6192 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):𝐴⟶ℝ))
144142, 143mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)):𝐴⟶ℝ)
145144feqmptd 6412 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀)) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
14636feqmptd 6412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))
147146oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))) = (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))
148105, 145, 1473eqtr3rd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
14975recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℂ)
150 fvexd 6365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) ∈ V)
15174recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℂ)
152 recn 10238 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
153 dvnply2 24261 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)) ∈ (Poly‘ℝ))
15443, 68, 109, 153syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)) ∈ (Poly‘ℝ))
155 plyf 24173 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)) ∈ (Poly‘ℝ) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)):ℂ⟶ℂ)
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)):ℂ⟶ℂ)
157156ffvelrnda 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) ∈ ℂ)
158152, 157sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) ∈ ℂ)
159125cnfldtopon 22807 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
160 toponmax 20952 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
161159, 160mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
162 df-ss 3729 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
163102, 162sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
164 plyf 24173 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (Poly‘ℝ) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):ℂ⟶ℂ)
16570, 164syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):ℂ⟶ℂ)
166165ffvelrnda 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) ∈ ℂ)
167100fveq2d 6357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)))
168 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
170 mapsspm 8059 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ ↑𝑚 ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
171 plyf 24173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝑇:ℂ⟶ℂ)
17268, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇:ℂ⟶ℂ)
17316, 16elmap 8054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (ℂ ↑𝑚 ℂ) ↔ 𝑇:ℂ⟶ℂ)
174172, 173sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑𝑚 ℂ))
175170, 174sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
176 dvnp1 23907 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑁 − (𝑀 + 1)) ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
177169, 175, 11, 176syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − (𝑀 + 1)) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
178167, 177eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
179156feqmptd 6412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
180165feqmptd 6412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))
181180oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))
182178, 179, 1813eqtr3rd 2803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
183125, 15, 161, 163, 166, 157, 182dvmptres3 23938 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
18415, 151, 158, 183, 1, 126, 125, 132dvmptres 23945 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
18515, 135, 140, 148, 149, 150, 184dvmptsub 23949 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦))))
186185dmeqd 5481 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))) = dom (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦))))
187 ovex 6842 . . . . . 6 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)) ∈ V
188 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))
189187, 188dmmpti 6184 . . . . 5 dom (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦))) = 𝐴
190186, 189syl6eq 2810 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))) = 𝐴)
191134, 190syl5sseqr 3795 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))))
192 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
19349adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
194193recnd 10280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
195192, 194subcld 10604 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝐵) ∈ ℂ)
19685adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
19787a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ0)
198196, 197nn0addcld 11567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
199195, 198expcld 13222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
200152, 199sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
20198adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
202 1cnd 10268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
203201, 202addcld 10271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
204195, 196expcld 13222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦𝐵)↑𝑀) ∈ ℂ)
205203, 204mulcld 10272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) ∈ ℂ)
206152, 205sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) ∈ ℂ)
20716prid2 4442 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
208207a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
209 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
210 elfznn 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2116, 210syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
212211nnnn0d 11563 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
213212adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
214209, 213expcld 13222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
215 ovexd 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) · (𝑥𝑀)) ∈ V)
216208dvmptid 23939 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
217 0cnd 10245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
21849recnd 10280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
219208, 218dvmptc 23940 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
220208, 192, 202, 216, 194, 217, 219dvmptsub 23949 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐵))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
221 1m0e1 11343 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
222221mpteq2i 4893 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
223220, 222syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐵))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
224 dvexp 23935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))))
225211, 224syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))))
22698, 99pncand 10605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
227226oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑥𝑀))
228227oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1))) = ((𝑀 + 1) · (𝑥𝑀)))
229228mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · (𝑥𝑀))))
230225, 229eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · (𝑥𝑀))))
231 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝑥↑(𝑀 + 1)) = ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
232 oveq1 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝑥𝑀) = ((𝑦𝐵)↑𝑀))
233232oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝐵) → ((𝑀 + 1) · (𝑥𝑀)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
234208, 208, 195, 202, 214, 215, 223, 230, 231, 233dvmptco 23954 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) · 1)))
235205mulid1d 10269 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) · 1) = ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
236235mpteq2dva 4896 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
237234, 236eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
238125, 15, 161, 163, 199, 205, 237dvmptres3 23938 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
23915, 200, 206, 238, 1, 126, 125, 132dvmptres 23945 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = (𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
240239dmeqd 5481 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = dom (𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
241 ovex 6842 . . . . . 6 ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) ∈ V
242 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) = (𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
243241, 242dmmpti 6184 . . . . 5 dom (𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) = 𝐴
244240, 243syl6eq 2810 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = 𝐴)
245134, 244syl5sseqr 3795 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))))
24615, 22, 1, 9, 47, 48dvntaylp0 24345 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵))
247246oveq2d 6830 . . . . 5 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) − (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵)))
248124, 46ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) ∈ ℂ)
249248subidd 10592 . . . . 5 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) − (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵)) = 0)
250247, 249eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵)) = 0)
251125subcn 22890 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
252251a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
253 dvcn 23903 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))) = 𝐴) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
254102, 124, 1, 122, 253syl31anc 1480 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
255146, 254eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
256 plycn 24236 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (Poly‘ℝ) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25770, 256syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2581, 20syl6ss 3756 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
259 cncfmptid 22936 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑦𝐴𝑦) ∈ (𝐴cn→ℂ))
260258, 168, 259sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦) ∈ (𝐴cn→ℂ))
261257, 260cncfmpt1f 22937 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
262125, 252, 255, 261cncfmpt2f 22938 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
263 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵))
264 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵))
265263, 264oveq12d 6832 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵)))
266262, 46, 265cnmptlimc 23873 . . . 4 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝐵)) ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) lim 𝐵))
267250, 266eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))) lim 𝐵))
268218subidd 10592 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
269268oveq1d 6829 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐵)↑(𝑀 + 1)) = (0↑(𝑀 + 1)))
2702110expd 13238 . . . . 5 (𝜑 → (0↑(𝑀 + 1)) = 0)
271269, 270eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐵)↑(𝑀 + 1)) = 0)
272258sselda 3744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
273272, 199syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
274273, 91fmptd 6549 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))):𝐴⟶ℂ)
275 dvcn 23903 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) = 𝐴) → (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
276102, 274, 1, 244, 275syl31anc 1480 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
277 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝐵) = (𝐵𝐵))
278277oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) = ((𝐵𝐵)↑(𝑀 + 1)))
279276, 46, 278cnmptlimc 23873 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) lim 𝐵))
280271, 279eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) lim 𝐵))
281258ssdifssd 3891 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
282281sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑦 ∈ ℂ)
283218adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
284282, 283subcld 10604 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑦𝐵) ∈ ℂ)
285 eldifsni 4466 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑦𝐵)
286285adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑦𝐵)
287282, 283, 286subne0d 10613 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑦𝐵) ≠ 0)
288211adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
289288nnzd 11693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
290284, 287, 289expne0d 13228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) ≠ 0)
291290necomd 2987 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 0 ≠ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
292291neneqd 2937 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ¬ 0 = ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
293292nrexdv 3139 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})0 = ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
294 df-ima 5279 . . . . . 6 ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))
295294eleq2i 2831 . . . . 5 (0 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ 0 ∈ ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))
296 resmpt 5607 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))
297134, 296ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
298 ovex 6842 . . . . . 6 ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ V
299297, 298elrnmpti 5531 . . . . 5 (0 ∈ ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})0 = ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
300295, 299bitri 264 . . . 4 (0 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})0 = ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))
301293, 300sylnibr 318 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})))
30298adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑀 ∈ ℂ)
303 1cnd 10268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 1 ∈ ℂ)
304302, 303addcld 10271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
305282, 204syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑦𝐵)↑𝑀) ∈ ℂ)
306288nnne0d 11277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
30784adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑀 ∈ ℕ)
308307nnzd 11693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑀 ∈ ℤ)
309284, 287, 308expne0d 13228 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑦𝐵)↑𝑀) ≠ 0)
310304, 305, 306, 309mulne0d 10891 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) ≠ 0)
311310necomd 2987 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 0 ≠ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
312311neneqd 2937 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ¬ 0 = ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
313312nrexdv 3139 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})0 = ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
314239imaeq1d 5623 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})))
315 df-ima 5279 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))
316314, 315syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))
317316eleq2d 2825 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ 0 ∈ ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
318 resmpt 5607 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
319134, 318ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
320319, 241elrnmpti 5531 . . . . 5 (0 ∈ ran ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})0 = ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))
321317, 320syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})0 = ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀))))
322313, 321mtbird 314 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))) “ (𝐴 ∖ {𝐵})))
323 eldifi 3875 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐴)
324139ffvelrnda 6523 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) ∈ ℂ)
325323, 324sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) ∈ ℂ)
3261ssdifssd 3891 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℝ)
327326sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
328327recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℂ)
329156ffvelrnda 6523 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) ∈ ℂ)
330328, 329syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) ∈ ℂ)
331325, 330subcld 10604 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) ∈ ℂ)
33249adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
333327, 332resubcld 10670 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑥𝐵) ∈ ℝ)
33485adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑀 ∈ ℕ0)
335333, 334reexpcld 13239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑥𝐵)↑𝑀) ∈ ℝ)
336335recnd 10280 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑥𝐵)↑𝑀) ∈ ℂ)
337332recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
338328, 337subcld 10604 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
339 eldifsni 4466 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐵)
340339adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥𝐵)
341328, 337, 340subne0d 10613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑥𝐵) ≠ 0)
342334nn0zd 11692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑀 ∈ ℤ)
343338, 341, 342expne0d 13228 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑥𝐵)↑𝑀) ≠ 0)
344331, 336, 343divcld 11013 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) ∈ ℂ)
345211nnrecred 11278 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
346345recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
347346adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
348 txtopon 21616 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
349159, 159, 348mp2an 710 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
350349toponunii 20943 . . . . . . . 8 (ℂ × ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld))
351350restid 16316 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℂ × ℂ)) = ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)))
352349, 351ax-mp 5 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℂ × ℂ)) = ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld))
353352eqcomi 2769 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℂ × ℂ))
354 taylthlem2.i . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀))) lim 𝐵))
355 limcresi 23868 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) lim 𝐵) ⊆ (((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)
356 resmpt 5607 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (1 / (𝑀 + 1))))
357134, 356ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (1 / (𝑀 + 1)))
358357oveq1i 6824 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (1 / (𝑀 + 1))) lim 𝐵)
359355, 358sseqtri 3778 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) lim 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (1 / (𝑀 + 1))) lim 𝐵)
360 cncfmptc 22935 . . . . . . . 8 (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) ∈ (𝐴cn→ℝ))
361345, 258, 102, 360syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) ∈ (𝐴cn→ℝ))
362 eqidd 2761 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (1 / (𝑀 + 1)) = (1 / (𝑀 + 1)))
363361, 46, 362cnmptlimc 23873 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (1 / (𝑀 + 1))) lim 𝐵))
364359, 363sseldi 3742 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (1 / (𝑀 + 1))) lim 𝐵))
365125mulcn 22891 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
366 0cn 10244 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
367 opelxpi 5305 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → ⟨0, (1 / (𝑀 + 1))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
368366, 346, 367sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨0, (1 / (𝑀 + 1))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
369350cncnpi 21304 . . . . . 6 (( · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ⟨0, (1 / (𝑀 + 1))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘⟨0, (1 / (𝑀 + 1))⟩))
370365, 368, 369sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘⟨0, (1 / (𝑀 + 1))⟩))
371344, 347, 169, 169, 125, 353, 354, 364, 370limccnp2 23875 . . . 4 (𝜑 → (0 · (1 / (𝑀 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) · (1 / (𝑀 + 1)))) lim 𝐵))
372346mul02d 10446 . . . 4 (𝜑 → (0 · (1 / (𝑀 + 1))) = 0)
373185fveq1d 6355 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))‘𝑥))
374 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥))
375 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥))
376374, 375oveq12d 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)))
377 ovex 6842 . . . . . . . . . . 11 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) ∈ V
378376, 188, 377fvmpt 6445 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)))
379323, 378syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)))
380373, 379sylan9eq 2814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)))
381239fveq1d 6355 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))‘𝑥))
382 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵) = (𝑥𝐵))
383382oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵)↑𝑀) = ((𝑥𝐵)↑𝑀))
384383oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑥𝐵)↑𝑀)))
385 ovex 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 1) · ((𝑥𝐵)↑𝑀)) ∈ V
386384, 242, 385fvmpt 6445 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))‘𝑥) = ((𝑀 + 1) · ((𝑥𝐵)↑𝑀)))
387323, 386syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑦𝐵)↑𝑀)))‘𝑥) = ((𝑀 + 1) · ((𝑥𝐵)↑𝑀)))
388381, 387sylan9eq 2814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥) = ((𝑀 + 1) · ((𝑥𝐵)↑𝑀)))
389211adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
390389nncnd 11248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
391390, 336mulcomd 10273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑀 + 1) · ((𝑥𝐵)↑𝑀)) = (((𝑥𝐵)↑𝑀) · (𝑀 + 1)))
392388, 391eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥) = (((𝑥𝐵)↑𝑀) · (𝑀 + 1)))
393380, 392oveq12d 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / (((𝑥𝐵)↑𝑀) · (𝑀 + 1))))
394389nnne0d 11277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
395331, 336, 390, 343, 394divdiv1d 11044 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / (((𝑥𝐵)↑𝑀) · (𝑀 + 1))))
396344, 390, 394divrecd 11016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) / (𝑀 + 1)) = ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) · (1 / (𝑀 + 1))))
397393, 395, 3963eqtr2rd 2801 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) · (1 / (𝑀 + 1))) = (((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥)))
398397mpteq2dva 4896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) · (1 / (𝑀 + 1)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥))))
399398oveq1d 6829 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑀))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑀))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑀)) · (1 / (𝑀 + 1)))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥))) lim 𝐵))
400371, 372, 3993eltr3d 2853 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦))))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1))))‘𝑥))) lim 𝐵))
4011, 78, 92, 132, 46, 133, 191, 245, 267, 280, 301, 322, 400lhop 23998 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))‘𝑥) / ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))‘𝑥))) lim 𝐵))
402323adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥𝐴)
403 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥))
404 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥))
405403, 404oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)))
406 ovex 6842 . . . . . . 7 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)) ∈ V
407405, 77, 406fvmpt 6445 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)))
408402, 407syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)))
409382oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)) = ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))
410 ovex 6842 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)) ∈ V
411409, 91, 410fvmpt 6445 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))
412402, 411syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))
413408, 412oveq12d 6832 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))‘𝑥) / ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))‘𝑥)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1))))
414413mpteq2dva 4896 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))‘𝑥) / ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))))
415414oveq1d 6829 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝑦𝐴 ↦ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑦)))‘𝑥) / ((𝑦𝐴 ↦ ((𝑦𝐵)↑(𝑀 + 1)))‘𝑥))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))) lim 𝐵))
416401, 415eleqtrd 2841 1 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑀 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑀 + 1)))) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  cop 4327   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  pm cpm 8026  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cuz 11899  (,)cioo 12388  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  cexp 13074  !cfa 13274  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  DivRingcdr 18969  SubRingcsubrg 18998  fldccnfld 19968  fldcrefld 20172  Topctop 20920  TopOnctopon 20937  intcnt 21043   Cn ccn 21250   CnP ccnp 21251   ×t ctx 21585  cnccncf 22900   lim climc 23845   D cdv 23846   D𝑛 cdvn 23847  Polycply 24159  degcdgr 24162   Tayl ctayl 24326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-refld 20173  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tsms 22151  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-dvn 23851  df-ply 24163  df-idp 24164  df-coe 24165  df-dgr 24166  df-tayl 24328
This theorem is referenced by:  taylth  24348
  Copyright terms: Public domain W3C validator