MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylfval 24304
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 24310 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylfval (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2 df-tayl 24300 . . . . 5 Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))))
4 eqidd 2753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5 oveq12 6814 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
65ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
76fveq1d 6346 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
87dmeqd 5473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
98iineq2dv 4687 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
107fveq1d 6346 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
1110oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
1211oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))
1312mpteq2dva 4888 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))
1413oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))
1514xpeq2d 5288 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
1615iuneq2d 4691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
174, 9, 16mpt2eq123dv 6874 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
18 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
1918oveq2d 6821 . . . 4 ((𝜑𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20 taylfval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21 cnex 10201 . . . . . 6 ℂ ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
23 taylfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
24 taylfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
25 elpm2r 8033 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 1474 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27 nn0ex 11482 . . . . . . 7 0 ∈ V
28 snex 5049 . . . . . . 7 {+∞} ∈ V
2927, 28unex 7113 . . . . . 6 (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30 0xr 10270 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ ℝ*)
32 nn0ssre 11480 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℝ
33 ressxr 10267 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3745 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ*
35 pnfxr 10276 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
36 snssi 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {+∞} ⊆ ℝ*
3834, 37unssi 3923 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
3938sseli 3732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
40 elun 3888 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ {+∞}))
41 nn0ge0 11502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
42 0lepnf 12151 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ +∞
43 elsni 4330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
4442, 43syl5breqr 4834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
4541, 44jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
4640, 45sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
47 lbicc2 12473 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
4831, 39, 46, 47syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
49 0z 11572 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
50 inelcm 4168 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
5148, 49, 50sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
52 fvex 6354 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
5352dmex 7256 . . . . . . . . 9 dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
5453rgenw 3054 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
55 iinexg 4965 . . . . . . . 8 ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
5651, 54, 55sylancl 697 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
5756rgen 3052 . . . . . 6 𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
58 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
5958mpt2exxg 7404 . . . . . 6 (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
6029, 57, 59mp2an 710 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
623, 17, 19, 20, 26, 61ovmpt2dx 6944 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
63 simprl 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
6463oveq2d 6821 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
6564ineq1d 3948 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
66 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
6766fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
6867oveq1d 6820 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
6966oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (𝑥𝑎) = (𝑥𝐵))
7069oveq1d 6820 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥𝑎)↑𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
7168, 70oveq12d 6823 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
7265, 71mpteq12dv 4877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
7372oveq2d 6821 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
7473xpeq2d 5288 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
7574iuneq2d 4691 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
76 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
7776oveq2d 6821 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
7877ineq1d 3948 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
79 iineq1 4679 . . . 4 (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8078, 79syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
81 taylfval.n . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
82 pnfex 10277 . . . . . . 7 +∞ ∈ V
8382elsn2 4348 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
8483orbi2i 542 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
8581, 84sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}))
86 elun 3888 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}))
8785, 86sylibr 224 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
88 taylfval.b . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8988ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
90 oveq2 6813 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
9190ineq1d 3948 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
9291neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
9392, 51vtoclga 3404 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
9487, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
95 r19.2z 4196 . . . . . 6 ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9694, 89, 95syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
97 elex 3344 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
9897rexlimivw 3159 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
99 eliin 4669 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
10096, 98, 993syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
10189, 100mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102 snssi 4476 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
103102adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → {𝑥} ⊆ ℂ)
10420, 23, 24, 81, 88taylfvallem 24303 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
105 xpss12 5273 . . . . . . 7 (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106103, 104, 105syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107106ralrimiva 3096 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108 iunss 4705 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
109107, 108sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
11021, 21xpex 7119 . . . . 5 (ℂ × ℂ) ∈ V
111110ssex 4946 . . . 4 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
112109, 111syl 17 . . 3 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
11362, 75, 80, 87, 101, 112ovmpt2dx 6944 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
1141, 113syl5eq 2798 1 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  Vcvv 3332  cun 3705  cin 3706  wss 3707  c0 4050  {csn 4313  {cpr 4315   ciun 4664   ciin 4665   class class class wbr 4796  cmpt 4873   × cxp 5256  dom cdm 5258  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cmpt2 6807  pm cpm 8016  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120   · cmul 10125  +∞cpnf 10255  *cxr 10257  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  0cn0 11476  cz 11561  [,]cicc 12363  cexp 13046  !cfa 13246  fldccnfld 19940   tsums ctsu 22122   D𝑛 cdvn 23819   Tayl ctayl 24298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-tsms 22123  df-xms 22318  df-ms 22319  df-limc 23821  df-dv 23822  df-dvn 23823  df-tayl 24300
This theorem is referenced by:  eltayl  24305  taylf  24306  taylpfval  24310
  Copyright terms: Public domain W3C validator