Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylf 24341
 Description: The Taylor series defines a function on a subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylf (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylfval.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylfval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylfval.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
5 taylfval.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
6 taylfval.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 24339 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
8 simpr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
98snssd 4472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → {𝑥} ⊆ ℂ)
101, 2, 3, 4, 5taylfvallem 24338 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
11 xpss12 5263 . . . . . . . . 9 (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
129, 10, 11syl2anc 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
1312ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
14 iunss 4692 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
1513, 14sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
167, 15eqsstrd 3785 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (ℂ × ℂ))
17 relxp 5265 . . . . 5 Rel (ℂ × ℂ)
18 relss 5345 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (ℂ × ℂ) → (Rel (ℂ × ℂ) → Rel 𝑇))
1916, 17, 18mpisyl 21 . . . 4 (𝜑 → Rel 𝑇)
201, 2, 3, 4, 5, 6eltayl 24340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))))
2120biimpd 219 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))))
2221alrimiv 2005 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦(𝑥𝑇𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))))
23 cnfldbas 19971 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
24 cnring 19989 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
25 ringcmn 18795 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ CMnd)
27 cnfldtps 22807 . . . . . . . . . 10 fld ∈ TopSp
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ TopSp)
29 ovex 6821 . . . . . . . . . . 11 (0[,]𝑁) ∈ V
3029inex1 4929 . . . . . . . . . 10 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
321, 2, 3, 4, 5taylfvallem1 24337 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
33 eqid 2769 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3432, 33fmptd 6526 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
35 eqid 2769 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3635cnfldhaus 22814 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
3823, 26, 28, 31, 34, 35, 37haustsms 22165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
3938ex 448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
40 moanimv 2678 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
4139, 40sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
42 moim 2666 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑥𝑇𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))) → (∃*𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) → ∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦))
4322, 41, 42sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦)
4443alrimiv 2005 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦)
45 dffun6 6045 . . . 4 (Fun 𝑇 ↔ (Rel 𝑇 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦))
4619, 44, 45sylanbrc 698 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑇)
47 funfn 6060 . . 3 (Fun 𝑇𝑇 Fn dom 𝑇)
4846, 47sylib 208 . 2 (𝜑𝑇 Fn dom 𝑇)
49 rnss 5491 . . . 4 (𝑇 ⊆ (ℂ × ℂ) → ran 𝑇 ⊆ ran (ℂ × ℂ))
5016, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ran (ℂ × ℂ))
51 rnxpss 5706 . . 3 ran (ℂ × ℂ) ⊆ ℂ
5250, 51syl6ss 3761 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℂ)
53 df-f 6034 . 2 (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ ↔ (𝑇 Fn dom 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℂ))
5448, 52, 53sylanbrc 698 1 (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383  ∀wal 1627   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2617  ∀wral 3059  Vcvv 3348   ∩ cin 3719   ⊆ wss 3720  {csn 4313  {cpr 4315  ∪ ciun 4651   class class class wbr 4783   ↦ cmpt 4860   × cxp 5246  dom cdm 5248  ran crn 5249  Rel wrel 5253  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  ℂcc 10134  ℝcr 10135  0cc0 10136   · cmul 10141  +∞cpnf 10271   − cmin 10466   / cdiv 10884  ℕ0cn0 11492  ℤcz 11577  [,]cicc 12382  ↑cexp 13067  !cfa 13267  TopOpenctopn 16296  CMndccmn 18406  Ringcrg 18761  ℂfldccnfld 19967  TopSpctps 20963  Hauscha 21339   tsums ctsu 22155   D𝑛 cdvn 23854   Tayl ctayl 24333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13268  df-hash 13325  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-rest 16297  df-topn 16298  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-topgen 16318  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-abl 18409  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-cring 18764  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-cld 21050  df-ntr 21051  df-cls 21052  df-nei 21129  df-lp 21167  df-perf 21168  df-cnp 21259  df-haus 21346  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-tsms 22156  df-xms 22351  df-ms 22352  df-limc 23856  df-dv 23857  df-dvn 23858  df-tayl 24335 This theorem is referenced by:  tayl0  24342
 Copyright terms: Public domain W3C validator