Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhbnd 15082
 Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhbnd (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd
StepHypRef Expression
1 retanhcl 15080 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2 ax-icn 10179 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10210 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 mulcl 10204 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6 rpcoshcl 15078 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
76rpne0d 12062 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
85, 7tancld 15053 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
92a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
10 ine0 10649 . . . . . . 7 i ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
128, 9, 11divnegd 10998 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
13 mulneg2 10651 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
142, 3, 13sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
1514fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = (tan‘-(i · 𝐴)))
16 tanneg 15069 . . . . . . . 8 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
175, 7, 16syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
1815, 17eqtrd 2786 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
1918oveq1d 6820 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
2012, 19eqtr4d 2789 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((tan‘(i · -𝐴)) / i))
21 renegcl 10528 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
22 tanhlt1 15081 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
2420, 23eqbrtrd 4818 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
25 1re 10223 . . . 4 1 ∈ ℝ
26 ltnegcon1 10713 . . . 4 ((((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
271, 25, 26sylancl 697 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
2824, 27mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i))
29 tanhlt1 15081 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
30 neg1rr 11309 . . . 4 -1 ∈ ℝ
3130rexri 10281 . . 3 -1 ∈ ℝ*
3225rexri 10281 . . 3 1 ∈ ℝ*
33 elioo2 12401 . . 3 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 710 . 2 (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1))
351, 28, 29, 34syl3anbrc 1426 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℝcr 10119  0cc0 10120  1c1 10121  ici 10122   · cmul 10125  ℝ*cxr 10257   < clt 10258  -cneg 10451   / cdiv 10868  (,)cioo 12360  cosccos 14986  tanctan 14987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-tan 14993 This theorem is referenced by:  tanregt0  24476  atantan  24841
 Copyright terms: Public domain W3C validator