Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgtrinv 18099
 Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgtrinv ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
21symggrp 18027 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2771 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
4 symgtrinv.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
53, 4invoppggim 17997 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
6 gimghm 17914 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
7 ghmmhm 17878 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
82, 5, 6, 74syl 19 . . 3 (𝐷𝑉𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
9 symgtrinv.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
119, 1, 10symgtrf 18096 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12 sswrd 13509 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
1413sseli 3748 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
1510gsumwmhm 17590 . . 3 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
168, 14, 15syl2an 583 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
1710, 4grpinvf 17674 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
182, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
1918adantr 466 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
20 wrdf 13506 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
2120adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
22 fss 6197 . . . . . . 7 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2321, 11, 22sylancl 574 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
24 fco 6199 . . . . . 6 ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2519, 23, 24syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2625ffnd 6185 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2721ffnd 6185 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
28 fvco2 6417 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2927, 28sylan 569 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
3021ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑇)
3111, 30sseldi 3750 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
321, 10, 4symginv 18029 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
3331, 32syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
34 eqid 2771 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
3534, 9pmtrfcnv 18091 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ 𝑇(𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3630, 35syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3729, 33, 363eqtrd 2809 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
3826, 27, 37eqfnfvd 6459 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) = 𝑊)
3938oveq2d 6812 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg 𝑊))
40 grpmnd 17637 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
412, 40syl 17 . . 3 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Mnd)
4210, 3gsumwrev 18003 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4341, 14, 42syl2an 583 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4416, 39, 433eqtrd 2809 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ◡ccnv 5249  ran crn 5251   ∘ ccom 5254   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  reversecreverse 13493  Basecbs 16064   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631   GrpHom cghm 17865   GrpIso cgim 17907  oppgcoppg 17982  SymGrpcsymg 18004  pmTrspcpmtr 18068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-reverse 13501  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-oppg 17983  df-symg 18005  df-pmtr 18069 This theorem is referenced by:  psgnuni  18126
 Copyright terms: Public domain W3C validator