Theorem symgplusg 18009

Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgplusg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem symgplusg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgplusg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 18000	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
6	1, 3, 4, 5	symgval 17999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
7	6	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8		symgplusg.3	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		fvex 6362	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
10	2, 9	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10, 10	mpt2ex 7415	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
13	12	topgrpplusg 16246	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
14	11, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
15	7, 8, 14	3eqtr4g 2819	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
16		fvprc 6346	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
17	1, 16	syl5eq 2806	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
18	17	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘∅))
19		plusgid 16179	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
20	19	str0 16113	. . . 4 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
21	18, 8, 20	3eqtr4g 2819	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = ∅)
22		vex 3343	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
23		vex 3343	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
24	22, 23	coex 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
25	4, 24	fnmpt2i 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) Fn (𝐵 × 𝐵)
26	17	fveq2d 6356	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
27		base0 16114	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
28	26, 2, 27	3eqtr4g 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
29	28	xpeq2d 5296	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
30		xp0 5710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 × ∅) = ∅
31	29, 30	syl6eq 2810	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
32	31	fneq2d 6143	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) Fn ∅))
33	25, 32	mpbii 223	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) Fn ∅)
34		fn0 6172	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) Fn ∅ ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
35	33, 34	sylib 208	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
36	21, 35	eqtr4d 2797	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
37	15, 36	pm2.61i 176	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  {ctp 4325  ⟨cop 4327   × cxp 5264   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049   ↦ cmpt2 6815  ndxcnx 16056  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  TopSetcts 16149  ∏_tcpt 16301  SymGrpcsymg 17997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-symg 17998

This theorem is referenced by:  symgov  18010  symgtset  18019  pgrpsubgsymg  18028  symgtgp  22106