Theorem symginv 17868

Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symginv	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Proof of Theorem symginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symginv.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	elsymgbas2 17847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
4	3	ibi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
5		f1ocnv 6187	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		cnvexg 7154	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ V)
8	1, 2	elsymgbas2 17847	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	6, 9	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ 𝐵)
11		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	1, 2, 11	symgov 17856	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
13	10, 12	mpdan 703	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
14		f1ococnv2 6201	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	1, 2	elbasfv 15967	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
17	1	symgid 17867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	13, 15, 18	3eqtrd 2689	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺))
20	1	symggrp 17866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
22		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24		symginv.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
25	2, 11, 23, 24	grpinvid1 17517	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
26	21, 22, 10, 25	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
27	19, 26	mpbird 247	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   I cid 5052  ^◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988  0_gc0g 16147  Grpcgrp 17469  inv_gcminusg 17470  SymGrpcsymg 17843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-symg 17844

This theorem is referenced by:  symgsssg  17933  symgfisg  17934  symgtrinv  17938  psgninv  19976  zrhpsgninv  19979  evpmodpmf1o  19990  mdetleib2  20442  symgtgp  21952  symgfcoeu  29973  madjusmdetlem3  30023  madjusmdetlem4  30024