Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgid 18021
 Description: The group identity element of the symmetric group on a set 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symgid (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))

Proof of Theorem symgid
StepHypRef Expression
1 f1oi 6335 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 symggrp.1 . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
3 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3elsymgbas 18002 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴))
51, 4mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
6 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
72, 3, 6symgov 18010 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
85, 5, 7syl2anc 696 . . . 4 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
9 f1of 6298 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
10 fcoi1 6239 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
111, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
128, 11syl6eq 2810 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
132symggrp 18020 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
14 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
153, 6, 14grpid 17658 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (0g𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
1613, 5, 15syl2anc 696 . . 3 (𝐴𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (0g𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
1712, 16mpbid 222 . 2 (𝐴𝑉 → (0g𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
1817eqcomd 2766 1 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   I cid 5173   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  SymGrpcsymg 17997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-symg 17998 This theorem is referenced by:  symginv  18022  lactghmga  18024  idressubgsymg  18030  cayleylem2  18033  gsmsymgrfix  18048  gsmsymgreq  18052  symgsssg  18087  symgfisg  18088  symggen  18090  psgnunilem2  18115  psgnuni  18119  psgn0fv0  18131  psgnsn  18140  psgnprfval1  18142  madetsumid  20469  mdetdiag  20607  mdetunilem7  20626  psgnid  30156
 Copyright terms: Public domain W3C validator