MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggen2 17937
Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
symggen2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐾𝑇) = 𝐵)

Proof of Theorem symggen2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrf.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2 symgtrf.g . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3 symgtrf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 symggen.k . . 3 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
51, 2, 3, 4symggen 17936 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6 difss 3770 . . . . . . 7 (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥
7 dmss 5355 . . . . . . 7 ((𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥
92, 3symgbasf1o 17849 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥:𝐷1-1-onto𝐷)
10 f1odm 6179 . . . . . . 7 (𝑥:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝑥 = 𝐷)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → dom 𝑥 = 𝐷)
128, 11syl5sseq 3686 . . . . 5 (𝑥𝐵 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
13 ssfi 8221 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
1412, 13sylan2 490 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
1514ralrimiva 2995 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
16 rabid2 3148 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
1715, 16sylibr 224 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
185, 17eqtr4d 2688 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝐾𝑇) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  wss 3607   I cid 5052  dom cdm 5143  ran crn 5144  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  Fincfn 7997  Basecbs 15904  mrClscmrc 16290  SubMndcsubmnd 17381  SymGrpcsymg 17843  pmTrspcpmtr 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-symg 17844  df-pmtr 17908
This theorem is referenced by:  psgnfitr  17983  mdetunilem7  20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator