Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfisg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfisg 18109
 Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfisg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2762 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2 eqidd 2762 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2762 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 3829 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 3779 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
98symggrp 18041 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2761 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
115, 10grpidcl 17672 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
138symgid 18042 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1413difeq1d 3871 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1514dmeqd 5482 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
16 resss 5581 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
17 ssdif0 4086 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
1816, 17mpbi 220 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
1918dmeqi 5481 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
20 dm0 5495 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2119, 20eqtri 2783 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22 0fin 8356 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
2321, 22eqeltri 2836 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
2415, 23syl6eqelr 2849 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
25 difeq1 3865 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
2625dmeqd 5482 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
2726eleq1d 2825 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2827elrab 3505 . . 3 ((0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2912, 24, 28sylanbrc 701 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
30 biid 251 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
31 difeq1 3865 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3231dmeqd 5482 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3332eleq1d 2825 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
3433elrab 3505 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
35 difeq1 3865 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3635dmeqd 5482 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3736eleq1d 2825 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3837elrab 3505 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3993ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
40 simp2l 1242 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
41 simp3l 1244 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2761 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
435, 42grpcl 17652 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4439, 40, 41, 43syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
458, 5, 42symgov 18031 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4640, 41, 45syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4746difeq1d 3871 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
4847dmeqd 5482 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
49 simp2r 1243 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
50 simp3r 1245 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
51 unfi 8395 . . . . . . 7 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
5249, 50, 51syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
53 mvdco 18086 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
54 ssfi 8348 . . . . . 6 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5552, 53, 54sylancl 697 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5648, 55eqeltrd 2840 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57 difeq1 3865 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5857dmeqd 5482 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5958eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6059elrab 3505 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6144, 56, 60sylanbrc 701 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6230, 34, 38, 61syl3anb 1165 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
639adantr 472 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
64 simprl 811 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
65 eqid 2761 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
665, 65grpinvcl 17689 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6763, 64, 66syl2anc 696 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
688, 5, 65symginv 18043 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6968ad2antrl 766 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
7069difeq1d 3871 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
7170dmeqd 5482 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
728, 5symgbasf1o 18024 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372ad2antrl 766 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
74 f1omvdcnv 18085 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7671, 75eqtrd 2795 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77 simprr 813 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
7876, 77eqeltrd 2840 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79 difeq1 3865 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8079dmeqd 5482 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8180eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8281elrab 3505 . . . 4 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8367, 78, 82sylanbrc 701 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
8434, 83sylan2b 493 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
851, 2, 3, 7, 29, 62, 84, 9issubgrpd2 17832 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  {crab 3055   ∖ cdif 3713   ∪ cun 3714   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059   I cid 5174  ◡ccnv 5266  dom cdm 5267   ↾ cres 5269   ∘ ccom 5271  –1-1-onto→wf1o 6049  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  Basecbs 16080   ↾s cress 16081  +gcplusg 16164  0gc0g 16323  Grpcgrp 17644  invgcminusg 17645  SubGrpcsubg 17810  SymGrpcsymg 18018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-tset 16183  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-subg 17813  df-symg 18019 This theorem is referenced by:  symggen  18111  psgndmsubg  18143
 Copyright terms: Public domain W3C validator