MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextres 18016
Description: The restriction of the extension of a permutation, fixing the additional element, to the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextres ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextfv 18009 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
43ralrimiv 3091 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
51, 2symgextf 18008 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
6 ffn 6194 . . . 4 (𝐸:𝑁𝑁𝐸 Fn 𝑁)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 Fn 𝑁)
8 eqid 2748 . . . . . 6 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
98, 1symgbasf 17975 . . . . 5 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 ffn 6194 . . . . 5 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑍𝑆𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
1211adantl 473 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 difssd 3869 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
14 fvreseq1 6469 . . 3 (((𝐸 Fn 𝑁𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
157, 12, 13, 14syl21anc 1462 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
164, 15mpbird 247 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  cdif 3700  wss 3703  ifcif 4218  {csn 4309  cmpt 4869  cres 5256   Fn wfn 6032  wf 6033  cfv 6037  Basecbs 16030  SymGrpcsymg 17968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-plusg 16127  df-tset 16133  df-symg 17969
This theorem is referenced by:  symgfixfo  18030
  Copyright terms: Public domain W3C validator