MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextfo 17963
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextfo ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 17958 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
54, 1symgbasf1o 17924 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 f1ofo 6257 . . . . . . . . . 10 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
87adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9 dffo3 6489 . . . . . . . 8 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
108, 9sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1110simprd 482 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖))
121, 2symgextfv 17959 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
1312imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
1413eqeq2d 2734 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍𝑖)))
1514rexbidva 3151 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1615ralbidv 3088 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1711, 16mpbird 247 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖))
18 difssd 3846 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19 ssrexv 3773 . . . . . . 7 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2120ralimia 3052 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
2217, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
23 simpl 474 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
241, 2symgextfve 17960 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2524adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2625imp 444 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸𝑖) = 𝐾)
2726eqcomd 2730 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸𝑖))
2823, 27rspcedeq2vd 3423 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))
29 eqeq1 2728 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3029rexbidv 3154 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3130ralunsn 4530 . . . . 5 (𝐾𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3231adantr 472 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3322, 28, 32mpbir2and 995 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
34 difsnid 4449 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
3534eqcomd 2730 . . . . 5 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
3635raleqdv 3247 . . . 4 (𝐾𝑁 → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3736adantr 472 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3833, 37mpbird 247 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
39 dffo3 6489 . 2 (𝐸:𝑁onto𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
403, 38, 39sylanbrc 701 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  cdif 3677  cun 3678  wss 3680  ifcif 4194  {csn 4285  cmpt 4837  wf 5997  ontowfo 5999  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  Basecbs 15980  SymGrpcsymg 17918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-tset 16083  df-symg 17919
This theorem is referenced by:  symgextf1o  17964
  Copyright terms: Public domain W3C validator