Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf 18043
 Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf
StepHypRef Expression
1 simplll 750 . . 3 ((((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
2 simpllr 752 . . . . 5 ((((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → 𝑍𝑆)
3 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
4 df-ne 2943 . . . . . . . 8 (𝑥𝐾 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐾)
54biimpri 218 . . . . . . 7 𝑥 = 𝐾𝑥𝐾)
63, 5anim12i 592 . . . . . 6 ((((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥𝑁𝑥𝐾))
7 eldifsn 4451 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑥𝑁𝑥𝐾))
86, 7sylibr 224 . . . . 5 ((((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → 𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
9 eqid 2770 . . . . . 6 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 symgext.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
119, 10symgfv 18013 . . . . 5 ((𝑍𝑆𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑥) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
122, 8, 11syl2anc 565 . . . 4 ((((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑍𝑥) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
1312eldifad 3733 . . 3 ((((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑍𝑥) ∈ 𝑁)
141, 13ifclda 4257 . 2 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝑁) → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)) ∈ 𝑁)
15 symgext.e . 2 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
1614, 15fmptd 6527 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718  ifcif 4223  {csn 4314   ↦ cmpt 4861  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  Basecbs 16063  SymGrpcsymg 18003 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-tset 16167  df-symg 18004 This theorem is referenced by:  symgextf1  18047  symgextfo  18048  symgextres  18051
 Copyright terms: Public domain W3C validator